动态规划算法

• 应用实例

有一个背包，容量为4磅，现在将如下商品装入背包，要求装入的背包的总价值最大，并且重量不超出，且物品不能重复

# 当前为01背包
# 如果为完全背包则放入物品可重复

• 简介



• 思路分析

每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。
即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。
再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}  
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值 
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 

红色箭头指向 表示背包的容量
绿色箭头指向 表示当前拥有的物品

• 代码实现

public class KnapsackProblem {

  public static void main(String[] args) {
    int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
    int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
    int m = 4; //背包的容量
    int n = val.length; //物品的个数
    
    //创建二维数组，
    //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
    int[][] v = new int[n+1][m+1];
    //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
    int[][] path = new int[n+1][m+1];
    
    //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
    for(int i = 0; i < v.length; i++) {
      v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
    }
    for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
      v[0][i] = 0; //将第一行设置0
    }

    //根据前面得到公式来动态规划处理
    for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
      for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
        //公式
        if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
          v[i][j]=v[i-1][j];
        } else {
          //说明:
          //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
          //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
          //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
          //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
          if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
            //把当前的情况记录到path
            path[i][j] = 1;
          } else {
            v[i][j] = v[i - 1][j];
          }
          
        }
      }
    }
    
    //输出一下v 看看目前的情况
    for(int i =0; i < v.length;i++) {
      for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
        System.out.print(v[i][j] + " ");
      }
      System.out.println();
    }
    
    //动脑筋
    int i = path.length - 1; //行的最大下标
    int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
    while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
      if(path[i][j] == 1) {
        System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); 
        j -= w[i-1]; //w[i-1]
      }
      i--;
    }
    
  }

}