类欧几里得算法与万能欧几里得算法
前置知识
\(\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\) 表示 \(a\) 除以 \(b\) 向下取整的结果。
在一定情况下，我们希望将带有「向下取整」的不等式转化为不带有「向下取整」的不等式。方便起见，在下面列出其公式，其中 \(a, b, c, d\) 均为整数：
\[c \le \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor < d \iff bc \le a < bd \]在转化的过程中，通过一些 \(\pm 1\) 可以规避掉一些是否能够整除时的细节。
类欧几里得算法
主要用于求解 floor sum 问题及其变体。即给定 \(n, a, b, c\) 的值，求下式的值：
\[f(n, a, b, c) = \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \]为了便于讨论，钦定 \(a, b \in [0, c)\)。对于 \(a, b \notin [0, c)\) 的情况可以进行转化，具体方法如下：
\[\begin{aligned} f(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{(\left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor c + a \bmod c) i + \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + b \bmod c}{c} \right \rfloor \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor i + \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{(a \bmod c) i + b \bmod c}{c} \right \rfloor \\ =& \frac{n(n + 1)}{2} \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor + (n + 1) \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + f(n, a \bmod c, b \bmod c, c) \end{aligned} \]之后的算法流程中，均确保 \(a, b \in [0, c)\)。
令 \(m = \lfloor \frac{an + b}{c} \rfloor\)。
\[\begin{aligned} f(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{\left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor - 1} 1 \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} \left [j < \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \right ] \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} \left [j + 1 \le \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \right] \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} \left [cj + c - b \le a i \right ] \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} \left [cj + c - b - 1 < a i \right ] \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} \left [\left \lfloor \frac{cj + c - b - 1}{a} \right \rfloor < i \right ] \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} n - \left \lfloor \frac{cj + c - b - 1}{a} \right \rfloor \\ =& nm - f(m - 1, c, c - b - 1, a) \end{aligned} \]可以发现，最终 \(a\) 和 \(c\) 的位置将进行交换，也就类似于辗转相除的过程。因此，其复杂度为 \(\mathcal O(n \log n)\)，与欧几里得算法相同。
计算 \(f(n, a, b, c)\) 的参考代码如下：
ll f(ll n, ll a, ll b, ll c) {
ll ac = a / c, bc = b / c, m = (a * n + b) / c;
if (!a) return (n + 1) * bc;
if (a >= c || b >= c)
return n * (n + 1) / 2 * ac + (n + 1) * bc + f(n, a % c, b % c, c);
return n * m - f(m - 1, c, c - b - 1, a);
}
变体
观察标准 floor sum 的变体 \(g(n, a, b, c)\) 和 \(h(n, a, b, c)\)，定义如下：
\[g(n, a, b, c) = \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor ^2 \\ h(n, a, b, c) = \sum_{i = 0}^{n} i \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \]g
类似求 \(f(n, a, b, c)\) 的过程，先将 \(a\) 和 \(b\) 对 \(c\) 取模。
\[\begin{aligned} g(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor ^2 \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{(\left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor c + a \bmod c) i + \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + b \bmod c}{c} \right \rfloor ^2 \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \left ( \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor i + \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{(a \bmod c) i + b \bmod c}{c} \right \rfloor \right ) ^2 \\ =& \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor ^2 + (n + 1) \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor ^2 + g(n, a \bmod c, b \bmod c, c) \\ +& \ n(n + 1) \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + 2 \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor h(n, a \bmod c, b \bmod c, c) + 2 \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor f(n, a \bmod c, b \bmod c, c) \end{aligned} \]再考虑将 \(a\) 和 \(c\) 的位置进行交换。部分过程同 \(f\) 的推导，故省略。
\[\begin{aligned} g(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor ^2 \\ =& \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{\left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor - 1} 2j + 1 \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \left (n - \left \lfloor \frac{cj + c - b - 1}{a} \right \rfloor \right ) (2j + 1) \\ =& nm^2 - 2h(m - 1, c, c - b - 1, a) - f(m - 1, c, c - b - 1, a) \end{aligned} \]跟其他人推出来式子的不太一样，但本质上是相同的。
h
\[\begin{aligned} h(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} i \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \\ =& \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \left \lfloor \frac{a}{c} \right \rfloor + \frac{n(n + 1)}{2} \left \lfloor \frac{b}{c} \right \rfloor + h(n, a \bmod c, b \bmod c, c) \end{aligned} \]方便起见，令 \(t = \left \lfloor \frac{cj + c - b - 1}{a} \right \rfloor\)。
\[\begin{aligned} h(n, a, b, c) =& \sum_{i = 0}^{n} i \left \lfloor \frac{a i + b}{c} \right \rfloor \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \sum_{i = 0}^{n} [i > t] \cdot i \\ =& \sum_{j = 0}^{m - 1} \frac{1}{2} (n - t) (n + t + 1) \\ =& \frac{1}{2} \left [ nm(n + 1) - g(m - 1, c, c - b - 1, a) - f(m - 1, c, c - b - 1, a) \right ] \end{aligned} \]注意到计算 \(f, g, h\) 的过程中，递归调用的方式都是相同的，因此可以将其打包进行计算。
struct dat {
ll f, g, h;
dat() : f(0), g(0), h(0) {}
dat(ll f, ll g, ll h) : f(f), g(g), h(h) {}
};
inline int sum0(ll n) {
return n %= mod, (n + 1) % mod;
}
inline int sum1(ll n) {
return n %= mod, n * (n + 1) % mod * inv2 % mod;
}
inline int sum2(ll n) {
return n %= mod, n * (n + 1) % mod * (n + n + 1) % mod * inv6 % mod;
}
dat solve(ll n, ll a, ll b, ll c) {
ll s0 = sum0(n), s1 = sum1(n), s2 = sum2(n);
ll ac = a / c, bc = b / c, m = (a * n + b) / c;
if (!a) {
ll f = s0 * bc % mod;
ll g = s0 * bc % mod * bc % mod;
ll h = s1 * bc % mod;
return dat(f, g, h);
}
if (a >= c || b >= c) {
dat t = solve(n, a % c, b % c, c);
ll f = (s1 * ac + s0 * bc + t.f) % mod;
ll g = (s2 * ac % mod * ac + s0 * bc % mod * bc + t.g +
2 * s1 * ac % mod * bc + 2 * ac * t.h + 2 * bc * t.f) %
mod;
ll h = (s2 * ac + s1 * bc + t.h) % mod;
return dat(f, g, h);
}
dat t = solve(m - 1, c, c - b - 1, a);
ll f = (n * m - t.f) % mod;
ll g = (n * m % mod * m - 2 * t.h - t.f) % mod;
ll h = (n * m % mod * (n + 1) - t.g - t.f) % mod * inv2 % mod;
return dat((f + mod) % mod, (g + mod) % mod, (h + mod) % mod);
}
万能欧几里得算法
类欧几里得算法较为麻烦的地方，在于其对于不同的 floor sum 变体，都需要重新推一遍式子，容易出错。
而万能欧几里得算法则对各类 floor sum 问题的变体，给出了一种更为通用的方法，而代价是常数更大，尽管在大多数情况下并不会被特意去卡。
其实先学了万欧再学的类欧的，笔记先咕咕咕了。