多重集的r-组合是非常常见的组合问题,但相关资料通常只给出组合数的计算,却无法给出实际的方案,下面将通过一个水果摆盘问题由简单到复杂逐步推导并给出最终的求组合数和组合方案的算法.水果拼盘问题假定有一次聚会需要准备一个水果拼盘,其中拼盘中需要装入6个水果,目前有

Let\(G\)beafinitegroupand\(H<G\).If\([G:H]=2\),then\(gH=Hg\).Proof:If\([G:H]=2\),thenthereareonlytwocosetsof\(H\)in\(G\),andoneofthecosetsis\(H\)itself,i.e.,\[G=H\cupgH=H\cupHg,\]where\(H\cap

水仙花数，指的是一种独特的三位数，其各位数字的立方和恰好等于自身。举个例子，153就是水仙花数，因为1的立方为1，5的立方是125，3的立方是27，1+125+27正好等于153。再如370，3的立方是27，7的立方是343，0的立方是0，27+343+0等于370，所以370也是水仙花数。要找出

基本操作集合并卷积集合幂卷积定义为：给定两个集合幂级数\(F,G\)，计算集合幂级数\(H\)满足：\[\begin{aligned}h_S=\sum_{L\subset2^U}\sum_{R\subset2^U}[L\cupR=S]f_Lg_R\end{aligned}\]我们考虑用类似于FFT的方式，把\(f,g\)按某种线性变换后，然后把问题变成点乘。

题解CF698C【LRU】题目描述有\(n\)种物品和大小为\(k\)的队列。每次操作，以\(p_i\)的概率选择第\(i\)种物品放入队尾，如果已经有物品\(i\)了就将物品\(i\)拿出来扔到队尾。若队列大小\(\gtk\)，弹出队首。求\(10^{100}\)次操作后每种物品在队列里的概率。\(1\leq

挺高妙的题，思维套结论。题意：给定\(n\)个数，求在其中选三个不交的子集，使得其异或和相等的方案数。三个不交的集合异或和相等\(\Leftrightarrow\)两两异或和为\(0\)。观察两个异或和为\(0\)的集合\(S,T(\not=\varnothing)\)和答案有什么关系。有交但不包含设\(R=S\c

你细品巨大多太阳的题解，虽然看不懂，但是发现挺有道理的。容易发现，一个无向图是可环覆盖图，当且仅当所有点的度数为偶数。所以将一条边\((u,v)\)看作集合\(\{u,v\}\)，相当于求选出\(i\in[0,m]\)个集合\(\{u_i,v_i\}\)，其对称差为\(\varnothing\)的方案数。考虑集合幂级数，由

好像没做过DAG计数的题。首先看到数据范围，考虑状压。方便起见，记\(cnt_{S,T}=\sum\limits_{(u,v)\inE}[u\inS\andv\inT]\)。设\(f_S\)表示\(S\)为强连通分量的选边方案数，由于正面很难算。考虑反面：\[f_S=2^{cnt_{S,S}}-\sum\limits_{\varnothing\subsetneqqT\s

二项式反演本质上是某种容斥。结论为：\[f_i=\sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrowg_i=\sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}f_j\]更常用的形式是\[f_i=\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrowg_i=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}\binom{i}{j}f_j\]证明第二个

InstructPix2Pix和Pix2Pix是两码事。Pix2Pix使用的是GAN，而InstructPix2Pix使用的是Diffusion。这个名字的由来可能出于两个方面，一方面InstructPix2Pix允许在image-translation的时候引入文本Instruction，另一方面InstructPix2Pix和Pix2Pix一样使用了成对的数据进行训练。鉴于目前图

2023-3-101对下列各题中指定的集合\(A\),求出\(A^{\circ}\),\(\overline{A}\),\(\partialA\):​ (1)在\(\R\)中,\(A=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots

1.5事件的独立性两个事件的独立性定义如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响，则\[P(A|B)=P(A)\]其中，\(P(B)>0\)，称\(A\)独立于\(B\).对

题目假设有10种物品，问平均需要抽多少次，才能把所有物品都抽到一遍？分析首先要知道\(Min-Max\)容斥:\(min(S)=\sum_{\varnothing\neT\subseteqS}(−1)^{|T|+1}ma