标签：10 partial leq boldsymbol overline circ 2023 varnothing

2023-3-10

1 对下列各题中指定的集合 \(A\) ,求出 \(A^{\circ}\) , \(\overline{A}\) , \(\partial A\) :

​ (1) 在 \(\R\) 中, \(A=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\}\) ;

​ (2) 在 \(\R^2\) 中, \(A=\{(x,y):0<y<x+1\}\) ;

​ (3) \(A\) 是 \(\R^n\) 中的有限点集.

(1) \(A^{\circ}=\varnothing\) , \(\overline{A}=A\cup\{0\}\) , \(\partial A=A\cup\{0\}\) ;

(2) \(A^{\circ}=A\) , \(\overline{A}=\{(x,y):0\leq y\leq x+1\}\) , \(\partial A=\{(x,y):0\leq y=x+1\or0=y\leq x+1\}\) ;

(3) \(A^{\circ}=\varnothing\) , \(\overline{A}=A\) , \(\partial A=A\) .

2 设 \(A=\{(x,y):x,y\in\Q\}\). 求 \(A^{\circ}\) , \((A^c)^{\circ}\) 和 \(\partial A\) .

\(A^{\circ}=\varnothing\) , \((A^c)^{\circ}=\varnothing\) , \(\partial A=\R^2\) .

3 证明: \(\boldsymbol{p}\in\overline{A}\) 的一个充分必要条件是,对一切 \(r>0\) ,有 \(B_r(\boldsymbol{p})\cap A\neq \varnothing\) .

\[\forall r>0,B_r(\boldsymbol{p})\cap A\neq \varnothing \Leftrightarrow \forall r>0,B_r(\boldsymbol{\check p})\cap A\neq \varnothing \or \boldsymbol{p}\in A\\ \Leftrightarrow \boldsymbol{p}\in A'\or\boldsymbol{p}\in A\Leftrightarrow \boldsymbol{p}\in A\cup A'=\overline{A}. \]

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