首先考虑转化一下操作\(3\)。令\(m=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor\)，操作\(3\)就相当于是在\([l,m]\)内的数变为\(l-1\)，在\((m,r]\)内的数变为\(r+1\)。于是现在对于操作\(3\)其实就是将一个区间内的数都转为同一个值。其实对于这类将大量信息整合为一体的

目录非精确线搜索技术Armijo-Goldstein准则Wolfe-Powell准则强Wolfe-Powell准则【问题】在迭代中，已知\(x^{(k)}\)和下降方向\(d^{(k)}\)，如何确定下降步长\(\alpha^{(k)}\)，使得\(f(x^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)})<f(x^{(k)})\)？非精确线搜索技术求\(\alpha^{(k)}\)

乘法逆元给定\(n\)个正整数\(a_i\)，求它们在模\(p\)意义下的乘法逆元。逆元是模意义下的倒数，能够将模意义下无法直接计算的除法转化为乘法。先来总结一下常用的求单个逆元的方法：扩展欧几里得\(O(\logn)\)地求一个数的逆元，要求\(a,p\)互质即可（\(p\)为模数），原理为解线性

基础数论Update:2024/11/02。素数素数和合数定义若\(p\in\Zeta\)，且\(p\not=0,\pm1\)，其约数集合中的元素只有\(1\)和\(p\)本身，那么称\(p\)为素数。若\(a\in\Zeta\)，且\(a\not=0,\pm1\)，\(a\)不为素数，则为合数。素数一般指正的素数。素数计数\(\pi(x)

质数唯一分解定理任意一个正整数都可以唯一地表示成若干个素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。埃氏筛要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。时间复杂度\(O(nlogn)\)a[1]=1;

目录精确线搜索技术进退法确定搜索区间分割法确定极小值二分法黄金分割法插值法三点二次插值法（拉格朗日插值法）【问题】在迭代中，已知\(x^{(k)}\)和下降方向\(d^{(k)}\)，如何确定下降步长\(\alpha^{(k)}\)，使得\(f(x^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)})<f(x^{(k)})\)？精确线搜索技

2湍流背景湍流是具有广泛涡旋尺寸谱和相应波动频率谱的涡旋运动。湍流具有如下特征：旋转、间歇性（intermittent）、高度无序性、扩散性（diffusive）、耗散性（dissipative）。湍流可用纳维-斯托克斯动量方程描述。最大的涡旋（低频波动）的形式通常由边界决定，最小涡旋（最高频波动）的形式由粘

[复习]数论基础模运算\[(a\pmb)\bmodp=((a\bmodp)\pm(b\bmodp))\bmodp\]\[(a\timesb)\bmodp=((a\bmodp)\times(b\bmodp))\bmodp\]积性函数\[\forall\gcd(x,y)=1,f(xy)=f(x)\timesf(y)\]完全积性函数\[\forallx,y\inN^+,f(xy)=f(x)\timesf(y)\]g

环设\(R\)是赋予了加法和乘法运算的非空集合.我们称\(R\)是环，如果\((R,+)\)是阿贝尔群，\((R,\cdot)\)是幺半群，且\(R\)的乘法满足对加法的左右分配律.若将\((R,\cdot)\)是幺半群的条件修改为\((R,\cdot)\)是半群，我们称\(R\)是伪环.我们将在某些部分平行地构建出

练习情况P3601签到题有意思的题目，先筛出\(10^6\)的质数，每个质数对\(l\)~\(r\)的贡献。每个质数在\(l\)~\(r\)下界是\((\dfrac{(l-1)}{P}+1)P\)可以用分块思想理解Code:for(LLi=1;prime[i]*prime[i]<=r;i++){for(LLj=((l-1)/prime[i]+1)*prime[i];j<=

欧拉函数通项\(\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^n(1-\dfrac{1}{p_i})\)常用性质当\(n\)为质数时，\(\varphi(n)=n-1\)当\(gcd(n,m)=1\)时\(\varphi(nm)=\varphi(n)*\varphi(m)\)\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)欧拉反演\(n=\sum\limits_{d|n}\varph

P3601不互质的数个数就是\(n-\varphi(n)\)。\(\displaystyle\varphi(n)=n\prod\frac{p_i-1}{p_i}\)。直接用小于\(\sqrt{r}\)的素数求欧拉函数。所有数一起求。rep(i,l,r)phi[i-l]=val[i-l]=i;rep(i,1,pcnt) for(LLj=(l+prm[i]-1)/prm[i]

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。一般地，\(n\)阶微分方程的形式是\[F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0\tag{1}\]这里必须指出，在方程\((1)\)中，\(

高阶微分方程一般用于一些具体的物理情景中，下面以质点振动和宇宙速度的推导为例。参考书：王高雄《常微分方程（第四版）》文章目录一、质点振动01无阻尼自由振动（1）物理推导（2）微分方程推导02有阻尼自由摆动03无阻尼强迫振动04有阻尼强迫振动05质点振动小结一、质点振

鞅与停时定理呆猫不会数学，要证明也是直接抄别人的，不如直接放一篇（详细证明及介绍主要写点，对鞅与停时定理的理解定理与势能函数对于一个随机过程\(\{X_0,X_1,...,X_t\}\)，其中\(X_t\)是终止状态，对于构造出的函数，设为\(\varphi(X_i)\)，有以下要求：\(E(\varphi(X_{i+1})-\varphi(X

目录一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元法定理设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，函数\(x=\varphi(t)\)满足条件：（1）\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)；（2）\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具

1.PM的模拟调制过程​ PM信号是一种相位调制信号，其携带的信息保存在其信号的相位中，通过改变载波的相位来实现基带数据的传输。其函数表达式如下：\[s(t)=A*cos(w_c*t+K_f*m(t))\]其中：\(A\):表示载波幅度。\(m(t)\):表示基带信号。\(w_c\):表示载波信号角度增量。\(K_f\)

题意简述给你函数\(f\)：\[f(x,y,u)=\left\{\begin{array}{rcl}u-y,&x=1\\u,&1<x\ley,\\gcd(x,y)=1\\-x\cdoty,&x\neq1,\\gcd(x,y)=x\\0,&\text{otherwise}.\end{array}\right.\]对于一个长度为\(n\)的序列

0-30-0,数学还只打了暴力，菜就多练Problem1.facsum省流:\(f(n)=(\sum\limits_{d\midn}\varphi(d))^m(\sum\limits_{d\midn}\sigma_0(d)\mu(\frac{n}{d})\frac{n}{d})\)求\(\sum\limits_{i=1}^nf(i)\bmod1e9+7\)大概是把前面的区域以后再来探索吧Problem2.groupM

qubit经典的bit的状态空间为2，要么是0，要么是1。但是qubit可以同时是0和1，其状态空间可以看作是一个半径为1的球面，如下图Blochsphere所示。图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere可见，与直觉不同，它有两个自由度。为了简化，将其记为下面的形式：图片来源：http://www

欧拉函数欧拉函数，即\(\varphi(n)\)，表示的是小于等于\(n\)和\(n\)互质的数的个数，详细定义看wiki。欧拉函数其实就是容斥原理的应用，举个例子：如\(n=6\)，\(1,2,3,4,5,6\)是整个序列，我们将\(6\)的质因子\(2\)，\(3\)取出，减去小于等于\(6\)的\(2\)的倍数和\(3\)的倍数，

题意简述给出一个\(n\timesn\)的格点平面，有\(q\)次询问，求有多少正方形以\((x,y)\)为某一顶点，满足这个正方形顶点均在格点上，且边长为有理数。\(l\leq10^5\)，\(q\leq5\times10^5\)。题目分析看到边长为有理数，想到「毕达哥拉斯三元组」（"Pythagoreantriple"，简称「

\(claim\)\(*\rightarrow\)狄利克雷卷积\((a,b)\rightarrowgcd(a,b)\)欧拉函数\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)\(\varphi(n)=n\times\prod(1-\frac{1}{p_i})\)\(\varphi(nm)\varphi((n,m))=

一、最大公约数定义不全为\(0\)的整数\(a,b\)的最大公约数是指能够同时整除\(a\)和\(b\)的最大整数。欧几里得算法(gcd)gcd是用来求解两个整数的最大公约数定理1.2.1对于整数\(a,b,m,n\)，若\(c\mida，c\midb\)，则\(c\mid(ma+nb)\)证：\(\becausec\mida