题意简述给你函数\(f\)：\[f(x,y,u)=\left\{\begin{array}{rcl}u-y,&x=1\\u,&1<x\ley,\\gcd(x,y)=1\\-x\cdoty,&x\neq1,\\gcd(x,y)=x\\0,&\text{otherwise}.\end{array}\right.\]对于一个长度为\(n\)的序列

0-30-0,数学还只打了暴力，菜就多练Problem1.facsum省流:\(f(n)=(\sum\limits_{d\midn}\varphi(d))^m(\sum\limits_{d\midn}\sigma_0(d)\mu(\frac{n}{d})\frac{n}{d})\)求\(\sum\limits_{i=1}^nf(i)\bmod1e9+7\)大概是把前面的区域以后再来探索吧Problem2.groupM

qubit经典的bit的状态空间为2，要么是0，要么是1。但是qubit可以同时是0和1，其状态空间可以看作是一个半径为1的球面，如下图Blochsphere所示。图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere可见，与直觉不同，它有两个自由度。为了简化，将其记为下面的形式：图片来源：http://www

欧拉函数欧拉函数，即\(\varphi(n)\)，表示的是小于等于\(n\)和\(n\)互质的数的个数，详细定义看wiki。欧拉函数其实就是容斥原理的应用，举个例子：如\(n=6\)，\(1,2,3,4,5,6\)是整个序列，我们将\(6\)的质因子\(2\)，\(3\)取出，减去小于等于\(6\)的\(2\)的倍数和\(3\)的倍数，

题意简述给出一个\(n\timesn\)的格点平面，有\(q\)次询问，求有多少正方形以\((x,y)\)为某一顶点，满足这个正方形顶点均在格点上，且边长为有理数。\(l\leq10^5\)，\(q\leq5\times10^5\)。题目分析看到边长为有理数，想到「毕达哥拉斯三元组」（"Pythagoreantriple"，简称「

\(claim\)\(*\rightarrow\)狄利克雷卷积\((a,b)\rightarrowgcd(a,b)\)欧拉函数\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)\(\varphi(n)=n\times\prod(1-\frac{1}{p_i})\)\(\varphi(nm)\varphi((n,m))=

一、最大公约数定义不全为\(0\)的整数\(a,b\)的最大公约数是指能够同时整除\(a\)和\(b\)的最大整数。欧几里得算法(gcd)gcd是用来求解两个整数的最大公约数定理1.2.1对于整数\(a,b,m,n\)，若\(c\mida，c\midb\)，则\(c\mid(ma+nb)\)证：\(\becausec\mida

极坐标系定义以极点\(O\)引一条射线做极轴\(Ox\)，选定长度单位、角度单位（一般为弧度）及正方向（一般为逆时针），\(\lvertOP\rvert\)为点\(P\)的极径，记为\(r\)，角\(xOP\)为点\(P\)的极角，记为\(\theta\),有序对\((r,\theta)\)叫做点\(P\)的极坐标，记为\(P(r,\theta)\)。极坐标与直角坐标

映射的理解我确信高中没学过（逃定义考虑集合\(A,B\)，一个从\(A\)到\(B\)的映射被记作\(\varphi:A\mapstoB\)，满足：\[\foralla\inA,\varphi(a)\inB\]其中\(\foralla\inA,\varphi(a)\)是唯一的。\(a\)叫\(\varphi(a)\)的原像（\(\text{preimage}\)），\(\varphi(a)

BasicMathematicalPhilosophy好像没有什么用，当碎碎念吧……为什么我们要研究代数结构？最早的原因是，这可以把我们知道的东西迁移到不知道的问题上。比如，我们知道幺元唯一之后就不会疑问\(n\)阶单位矩阵是不是唯一的。但一个更可能的情况是研究结构不会翻车，研究别的定义更复

Ciallo～(∠・ω<)⌒★我是赤川鹤鸣。本文假设您已经初步了解了Hodgkin-HuxleyModel，这里只是针对其中的公式的一些推导。不会对其优缺点、特性、应用等进行详述。物理基础知识如果已学习过物理学中电流、电容、电导率的概念，可跳过此节。首先，让我们复习一下物理学中电流

写在前面：

从莫比乌斯反演的文章里迁移出来的。部分数论函数结论的证明前面的小节中，我们使用了一些数论函数相关的结论，但并未给出证明。接下来我们来证明它们。欧拉函数证明\[\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\]由欧拉函数公式，设\(x

写在前面：

写在前面：

积性函数一般我们只需要考虑定义域在\(\mathbb{Z}\)就够了，什么实数，复数都不用管。如果函数\(f(x)\)满足对于任意的\(a,b\)且\(\gcd(a,b)=1\)，都有\(f(ab)=f(a)f(b)\)。欧拉函数\(\varphi(i)\)\(\varphi(n)\)定义为大于等于\(1\)且小于\(n\)且与它互质的数的个数

考虑欧拉反演\[\sum\limits_{d\midn}\varphi(d)=n\]则原式可以化为\[\begin{align*}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(a_i,a_j)\cdot\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(a_i,a_j)\sum\li

数学是毒瘤基础数论总结。数论题的代码都是一个个板子拼起来的，本博客只放板子。声明：本博客中出现的所有代码，都视为加入了#defineintlonglong数论题的特点题目大意简洁易懂。但有的题还是会古舟一堆码量小，全是板子极其难想，需要手推公式longlong是标配筛

1.离散对数就是在模\(p\)意义下求出\(\log_ab\)。等价于求出方程\(a^x\equivb\pmodm\)的解。其中的\(x\)就是\(\log_ab\)。当\(a\perpp\)时，BSGS算法可以求解出上面那个方程的解。具体的计算过程如下：我们设块长\(M\)，并且\(x=AM-B\)，那么\(a^{AM}\equiv

2.ThemodelsystemThemodelisafour-particlesystem,showninfigures1and2.Itconsistsofanaxleoflength\(L\).Abouttheendpointstwoperpendicularrodscanrotate.Thesehaveparticlesattachedattheendpoints,oneheavyofmass\(M\)

数论相关积性函数推论1：积性函数\(f\)一定满足\(f(1)=1\)。推论2：通过质数点值可以唯一确定完全积性函数，因为质数可以组成所有的数；通过所有\(p^k\)处的点值可以唯一确定积性函数，因为积性函数有前置条件\(n\botm\)所以要组合出有多个质因子\(p\)的数就需要\(p^k\)

一、莫比乌斯1、莫比乌斯函数：\(u(n)=\left\{\begin{array}{l}1\qquad\qquadn=1\\0\qquad\qquadn含有平方因子\\(-1)^{k}\qquadn里面所包含质因子数目\end{array}\right.\)令\(\varepsilon(n)=\sum_{d|n}^{n}u(d)=[n=1]\)，那么我们有\(\varepsilon=u\*\1\)

欧拉系列欧拉函数欧拉函数\(\varphi(n)\)表示\(1\simn\)内与\(n\)互质的数的个数。性质欧拉函数是积性函数，特别的有\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)。\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)。证明：设\(f(x)\)表示\(\gcd(k,n)=x(k\in[1,n])\)的个数，则\(n=

20240806课件marp:truemath:mathjax数论入门整除、同余、数论函数、素数…………………………byRenaMoe不讲证明的地方是因为用处不大而且俺也不会，请自行了解。想要严谨而系统的学习OI相关的数学知识的话，建议读《具体数学》。基础概念oiwiki整除对于正整数

定义阶：对于\(a\perpm\)，定义阶\(\delta_m(a)\)表示最小的\(i\)满足\(a^i\equiv1\pmodm\)。原根：对于\(a\perpm\)，\(a\)是\(n\)的原根当且仅当\(\delta_m(a)=\varphi(m)\)。性质：\(a,a^2,a^3,...,a^{\delta_m(a)}\)互不相同。\(a^i\equiv1\pmod