最小生成树最小生成树也是一种常见的有权无向图问题，为了解决此问题，引出了本章的两个算法。​ 本章将包括：目录最小生成树一.基本概念1.什么是最小生成树？2.\(MST\)算法的思路二.\(kruskal\)算法1.算法思路2.代码详解3.算法总结三.\(Prim\)算法1.算法思想2.代码详解3.算法

练习1北京(Pe)、东京(T)、纽约(N)、墨西哥(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如下表所示。从北京（Pe）乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)五城市做旅游，每城市恰去一次再返回北京，应如何安排旅游线，使旅程最短？LMNPaPeTL056352151

5.31CFR949(Div.2)Solve:A~D(4/6)Rank:99Rating:\(1939+131=2070\)（\(1989+81=2070\)）发挥评价：Normal失误：小失误是做2B时候没有注意，第一次错了之后就急了，接连交了\(4\)发罚时。注意如果交上去WA了，想清楚、找清楚问题再交。CF1981E(me*2200)给定\(n\)

F-MSTQueryProblemStatementYouaregivenaweightedundirectedconnectedgraph$G$with$N$verticesand$N-1$edges,whereverticesarenumbered$1$to$N$andedgesarenumbered$1$to$N-1$.Edge$i$connectsvertices$a_i$and$b_i$withaweight

题目链接点击打开链接题目解法还是挺有收获的题解法1完全图求\(mst\)，首先应该考虑\(boruvka\)算法现在的问题转化成了求\(O(\logn)\)次每个点\(x\)到不在\(x\)的连通块中的点的最短边这个可以换根\(dp\)求子树内的是好求的，只要记录所有连通块的最小值和次小值

1、单生成树的缺点：1、无法实现流量负载分担2、存在二层次优路径解决上述问题：部署MSTP，通过实例在不同的域中区分不同的生成树，各生成树之间计算相互独立2、Stp、Rstp、Mstp之间兼容：1、当RSTP或MSTP如果相连的交换机运行是STP，则RSTP或

非常精彩的转化！显然，树是二分图。由König定理，我们知道：二分图最小点覆盖等于最大匹配。因此枚举点覆盖\(S\)，则一条边\((u,v)\)可以被选择，当且仅当\(u\inS\lorv\inS\)，在所有可以选择的边上跑最小生成树即可。我采用的是Kruskal算法，时间复杂度为\(O(2^nn^2\logn)\)，可

洛谷题面CF题面题目要求一个最小值加上一个最大值的最小值，不好直接做，考虑转化。发现树是二分图，而由柯尼希定理可知二分图的最大匹配等于其最小点覆盖。这样就把求\(\min(\min_{\text{生成树}}+\max_{匹配})\)转化为了\(\min(\min_{生成树}+\min_{覆盖})\)。直接\(\math

MinimumSpanningTrees给定一张\(n\)个点的完全图，每条边有\(p_0\)的概率不存在，\(\forall1\lei\lek\)，有\(p_i\)的概率边权为\(i\)，求所有可能总权值的概率.\(n\le40,k\le4\)数据严重偏小了似乎.\(f_{i,j,k}\)表示权值为\(1-i\)的边，\(j\)个有标号点组成的权

借这一道题目来介绍一下最小瓶颈路和Kruscal重构树首先本来这道题目我其实是没看出来是最大生成树的（因为不知道上面两个东西），然后我想的是二分，当然也可以做，但是复杂度多一个\(log\)对上面两个东西的介绍见OI-wiki下面是一些解释最小瓶颈路的性质的第一句话说“根据最小生成树定

因为贡献是两个之和，考虑固定下一个，求解另一个的最优。\(\text{MST}\)似乎找不到什么好的办法固定，便考虑固定下最大匹配。对于树的最大匹配，考虑到因为树也是二分图，所以树的最大匹配\(=\)最小点覆盖。考虑如果知道了最小点覆盖内的点，那就说明如果一条边两个端点都不在点集中，是

最小生成树边权的多重集合是唯一最小的！而且顺着排序之后字典序也最小。证明是容易的，利用克鲁斯卡尔的过程归纳即可。还有一种我独创的证法：考虑配对。如果有两种生成树，把两棵树拍到一起，然后B树的边(x,y)可以和A树上的路径(x,y)上的点匹配，根据霍尔婚姻，显然具有完美匹配，又

这一道题目，我们看到\(q\)非常小，所以可以尝试从\(q\)入手对每种组合，我们想要求出必须选择这些组合的MST，也即“含有必须边的MST”（尽管现在还不清楚每个组合的边是什么，下文会说）这种情况跟陈立杰出的那道“tree”非常像，我们只用把必须边的边权缩小放到前面然后跑Kruscal即可那为

太难证明了，到现在都看不懂。。。这道题目好像可以用wqs二分做把这道题目，陈立杰出的tree那道题目，还有洛谷P5633都搞明白，注意wqs二分和这种做法都要懂然后蓝书好像描述不好，看这篇题解他讲的第一个证明我花了好久看懂了：\(e\)指不在\(T\)上的边，\(P\)是\(T\)上从\(u\)到\(v\)的一条

E-RingMST有i种操作，第i种操作为选择一个数x，然后在x和(x+a[i])%N之间连边，代价为c[i]，问是否能够让图联通，如果可以最小生成树的边权和是多少。首先按照克鲁斯卡尔算法，我们肯定是按照边权从小到大连。考虑前i种操作都操作完后的连通块个数。若u，v在同一联通块，则\(u\equivv+a

MST(最小生成树)学习感悟MST，最小生成树，一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。——百度百科对于最小生成树，有几个比较常见的性质：对于任意最小生成树,它包含所有的n个节点以及n-1条边。若边权都不相

PVST模拟机制说明：通常，MST区域会连接到其他域，pvst或rapid-pvst。运行pvst或rapid-pvst的这些交换机无法处理MST类型BPDU。因此，必须运行向后兼容机制，以便这两个域能够无缝交互。这是PVST模拟地址和实现的功能。此模拟只能在边界端口上运行，这些端口直接连接到pvst或rapid-pvst域交换

题意：给定一颗\(n\)个点的树，点\(i\)有权值\(a_{i}\)，边有边权。现在有另外一个完全图，两点之间的边权为树上两点之间的距离加上树上两点的点权，求这张完全图的最小生成树。首先有一个很显然的暴力，把完全图中每两点之间的边权算出来，然后跑一边最小生成树，时间复杂度\(O(n^{2}\lo

一、组网需求内网有4个vlan，vlan10和20的生成树根桥在核心交换机A上，vlan30,40的vlan根桥在核心交换机B上。 二、组网拓扑：   三、配置要点：开启生成树功能创建不同的实例为实例配置优先级 四、配置步骤：注意：配置之前建议使用Ruijie#showinterfacestatus查看接口

  先写一发LCA#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intn,q,x,y,dep[500005],jump[500005][22];vector<int>d[500005];voidfindep(intp,intf,intdp){ dep[p]=dp;//点p的深度为dp for(inti=0;i<=int(d[p].size()-1);i++) if(d[p][i]!=f)

对于这种贡献和整体数量相关的问题，确实可以考虑和最小生成树挂上勾……总体来说还是有点怪的，考虑转化为图论模型，物品两两之间建边，权值为相互转移的代价，再新建一个节点，每个点向其连边，权值为其直接代价，因为第一个必须要直接转移，所以跑一遍MST就行了。总结一下MST的一些性质，贡

AtCoderBeginnerContest308A~GA.NewSchemevoidMain(){vector<i64>a(8);for(auto&x:a)cin>>x;if(!is_sorted(a.begin(),a.end())&&!all_of(a.begin(),a.end(),[](auto&x){returnx%25!=0||!(100

Prim算法prim算法基本思想：基于点的解决方式先随便选择一个点s作为起点，把其他所有点设为未添加节点，再设一dis数组，代表每个节点到最小生成树最近点的距离，易得一开始只有dis[s]=0，其他均为∞。每轮找到dis值最小且未添加过的节点加入生成树中，且使用这个节点的邻边去更新它的邻点

思路首先想到暴力建边跑最小生成树，但是显然会TLE。所以思考有没有时间复杂度更低的做法，考虑到最小生成树是每次取最短的边，所以我们也可以先考虑较短的边。首先最短的边一定是某一列或者某一行（或者若干列和行），所以我们取边，也应该是一行一行或者一列一列的取。但是有些时候这样

……好多题单的题目都没补掉捏（如何求MSTKruskalMST就是最小生成树啦~然后我发现自己最小生成树学的也不好，连夜加急八百里复习了kruskal和Prim。下面简单来讲讲这两个算法吧awa。Kruskal是非常简单的算法，它是怎么做的嘞？首先对所有边按照边权从大到小排个序，然后每次取出