第1章Borel测度在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明1.我们只讨论\(\mathbb{R}^n\)上的测度，因此如果不作特别说明，我们均认为测度和集合为于\(\mathbb{R}^n\)中：2.我们不特别区分外测度和测度，因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度：3.我们默认读者已经了解了\(\m

\(6.\)已知\(3a>b>0\),则\(\large\frac{a}{3a-b}-\frac{b}{a+b}\)的最小值为多少？基本方法\(\qquad\)对于高中基本不等式，这种分母较为复杂的求最值问题，我们一般都会采用将分母换元换元的方法，理由很自然，因为分式是分子除分母，所以分母形式的简单可以方便我们对问题的处理。那么

01 介绍Go标准库sync提供互斥锁Mutex。它的零值是未锁定的Mutex，即未被任何goroutine所持有，它在被首次使用后，不可以复制。我们可以使用Mutex限定同一时间只允许一个goroutine访问和修改临界区。02 使用在介绍怎么使用Mutex之前，我们先阅读`sync.Mutex`源码[1

公式：F=∥w

符号规约\([A]\)，艾弗森括号，其中\(A\)为命题，若\(A\)为真，则该式值为\(1\)，否则为\(0\)。常见积性函数单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)幂函数：\(\large\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)常数函数：\(\large{1(n)=1}\)因数个数：\(\large\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\midn}1

简单的数学题题目描述由于出题人懒得写背景了，题目还是简单一点好。输入一个整数\(n\)和一个整数\(p\)，你需要求出：\[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\right)\bmodp\]其中\(\gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数。输入格式一行两个整数\(p,n\)。

排队论作为研究随机服务系统的重要工具，专门研究系统中客户到达、排队、服务和离开的过程。排队论的核心目的是通过数学建模和分析，研究系统的性能指标，如平均等待时间、队列长度、系统的吞吐量等。虽然排队论提供了强大的数学工具来分析随机服务系统，但在许多复杂的实际问题中，精确的

排队论最早由丹麦工程师AgnerKrarupErlang于1910年提出，旨在解决自动电话系统的问题，成为话务理论的奠基石。Erlang通过研究电话呼叫的随机到达和服务时间，推导出著名的埃尔朗电话损失率公式，用于计算电话系统的呼叫阻塞率，揭示了排队现象的本质。Erlang之后，排队论得到进一步发展。瑞

一般地，函数\(y=f(x)\)的导数\(y\'=f\'(x)\)仍然是\(x\)的函数。我们把\(y\'=f\'(x)\)的导数叫做函数\(y=f(x)\)的二阶导数，记作\(y\''\)或\(\cfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)，即\[y''=(y')

前置需求数论分块概念对于一个形如\(\sum_{x=1}^n\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)的式子，我们发现对于一部分的\(x\)，它们的\(\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor\)值相同，因此我们没必要\(\mathcal{O(n)}\)计算，可以采用数论分块的办法将这一步的复杂度降低至\(\mathcal{O(\sqrt

[SDOI2015]约数个数和题目描述设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数，给定\(n,m\)，求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\]输入格式输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数\(T\)，表示测试数据的组数。接下来的\(T\)行，每行两个整数\(n,m\)。输出格式\(T\)行，每行一个整数，表

原题链接《一道思维题（小trick）》\[ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(a_i,a_j)\]当然正常莫反不能是这种形式的，可以观察到\(a_i\)的值域很小，只有\(5\times10^4\)，所以我们去考虑直接枚举。$\quad$记\(c_{a_i}\)为\(a_i\)在序列中出现的个数，\(N\)为\(a_i\)

举例：二元高斯分布的密度函数(\(X\),\(Y\)不独立)\(f_{X,Y}\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi\sigma_{x}\sigma_{y}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho)^2}\left[\frac{(x-\mu_{x})^2}{\sigma_{x}^2}-2\rho\frac{(x-\mu_{x})(t-\mu_{y})}{\sigma_{x}\si

A分解\(a\)之后可以轻松找到最小的\(b\)满足\((a,b)\)是好的，而其他的\(b\)一定是最小的\(b\)的完全平方数倍。B暴力大战（为啥\(d^3(m)\)甚至\(d^4(m)\)能轻松过1e9啊，赛时以为\(d(m)=\Theta(\sqrtm)\)，\(d^3(m)=\Theta(m\sqrtm)\)就没敢写，只写了\(O(m\log

正在实现，不知道对不对，但是先放这，哪个大佬发现问题了和我说下设\[f(l)=\sum\cdots\sum[\gcd=1,\text{lcm}=l]\]\[g(l)=\sum\cdots\sum[\gcd=1,\text{lcm}\midl]\]\[h(l)=\sum\cdots\sum[\text{lcm}\midl]\]则\[g(l)=\sum_{l\midd}f(d)\]\[f(l)=\sum_{l\midd}\mu(

其实是因为莫反的题非常非常要用这个所以才来学。有些莫反甚至要求灵活运用，而不只是求\(\sum\mu(n)\)和\(\sum\phi(n)\)前置的芝士狄利克雷卷积对于两个数论函数\(f,g\)，他们两个函数的前\(n\)项的狄利克雷卷积表示为\((f*g)(n)\)，\((f*g)(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\fra

来自这位大佬的视频的整理先整理几个重要的数论函数。1.莫比乌斯函数$\mu(n)$当\(n=1\)时取1，当\(n\)存在平方因子的时候取0，否则取\((-1)^k\)，其中\(k\)是\(n\)所含的质因子数量。2.欧拉函数\(\phi(n)=\displaystyle\sum_{d=1}^n[gcd(d,n)=1]\)，就是小于等于n且与\(n\)互质

3.7批量归一化批量归一化的核心思想在于把误差函数图像的“山铲平”，在某些误差表面上不同参数方向的变化率可能差别很大，此时在损失函数上找到临界点会比较困难比如对一个简单的线性函数\(y=\sigma(w_1\timesx_1+w_2\timesx_2+b)\)来说，我们考虑对于参数\(w_1,w_2\)来说，

RuntimeError:Expectedalltensorstobeonthesamedevice,butfoundatleasttwodevices,cuda:0andcpu!(whencheckingargumentforargumenttensorsinmethodwrapper_CUDA_cat)这个错误再次指出了在执行`torch.cat`操作时，参与操作的张量不在同一个设备上。错误

A题意：给定\(n\)个三元组\((x_i,y_i,t_i)\)，表示第\(i\)个人初始在位置\((x_i,y_i)\)，需要花费\(t_i\)秒把手里的活干完。现在选定一个集合地点\((X,Y)\)，每个人干完手中的活立刻去集合，花费\(\vertX-x_i\vert+\vertY-y_i\vert\)秒。最小化所有人都集合的时

pymc中的变分推断pymc和贝叶斯模型编程（2）。简介和安装简介PyMC是一个Python概率编程库，允许用户使用简单的PythonAPI构建贝叶斯模型，并使用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法对其进行拟合。PyMC致力于使贝叶斯建模尽可能简单、轻松，让用户能够专注于他们的问题而不是方

pymc和贝叶斯模型编程（1）简介和安装简介PyMC是一个Python概率编程库，允许用户使用简单的PythonAPI构建贝叶斯模型，并使用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法对其进行拟合。PyMC致力于使贝叶斯建模尽可能简单、轻松，让用户能够专注于他们的问题而不是方法。具有如下特性：

Lecture10Real-timePhysically-basedMaterials(surfacemodelsandcont.)PBRandPBRMaterialsPhysically-BasedRendering(PBR)基于物理的渲染渲染内的任何事都应该是PBR的材质、光照、相机、光线传播等等不限于材质，但常常指材质PBRmaterialsinRTR

1.Miller-RabinMiller-Rabin是一种接受随机性的正确性较高的素数检验方法，它有一定概率将合数判断为素数，但不会将素数判断为合数。其基本判定思路是，检测素数都具有但合数不具有的特殊性质，如众所周知的费马小定理\(x^{p-1}\equiv1\pmodp\)。1.1费马素性检验费马小定理的逆

\(\text{-1前言}\)\(\text{-1.0日志}\)24.08.24：启动本文企划，正式着笔。\(\text{-1.1本文记号说明}\)本文使用\(\cdot\)表示乘号，\(*\)表示卷积，\(\mathbb{P}\)表示质数集。\(\text{0基础函数科技}\)单位函数\({\bf1}(x)=1\)。幂函数\(id^k(x)=x^k\)。恒等函数（幂