设 \(A\in M_{m\times n}(\mathbb F)\),令 \(r = \dim R(A),s=\dim C(A)\).
不妨设 \(A\) 的基行为前 \(r\) 行,令 \(\tilde{A}\) 为截取 \(A\) 的前 \(r\) 行所得矩阵,令 \(t=\dim C(\tilde{A})\),不妨设 \(\tilde{A}\) 的基列为前 \(t\) 列.
任取 \(1\le k\le n\),则存在 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_t\in \mathbb F\),使得
\[\tilde{A}^{(k)}=\lambda_1\tilde{A}^{(1)}+\lambda_2\tilde{A}^{(2)}+\cdots+\lambda_t\tilde{A}^{(t)} \]而当 \(r<i\le m\) 时,存在 \(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_r\in \mathbb F\),使得
\[A_{(i)}=\mu_1A_{(1)}+\mu_2A_{(2)}+\cdots+\mu_rA_{(r)} \]则
\[a_{ik}=\sum_{p=1}^r\mu_pa_{pk}=\sum_{p=1}^r\mu_p\sum_{j=1}^t\lambda_ja_{pj}=\sum_{j=1}^t\lambda_j\sum_{p=1}^r\mu_pa_{pj}=\sum_{j=1}^t\lambda_ja_{ij} \]这表明
\[A^{(k)}=\lambda_1A^{(1)}+\lambda_2A^{(2)}+\cdots+\lambda_tA^{(t)} \]即得 \(s\le t\),由 \(C(\tilde{A})\subset\mathbb F^r\) 得 \(t\le r\),因此 \(s\le r.\)
上述推导对 \(A^T\) 仍成立,因此 \(r\le s\),从而 \(s=r\),即 \(A\) 的行秩等于列秩.
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