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第1章 Borel测度

在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明

1.我们只讨论\(\mathbb{R}^n\) 上的测度，因此如果不作特别说明，我们均认为测度和集合为于\(\mathbb{R}^n\) 中：

2.我们不特别区分外测度和测度，因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度：

3.我们默认读者已经了解了\(\mathbb{R}^{n}\) 中一般外测度的构造和一般测度积分的定义，包括几个极限定理(Levi单调收敛/Fatou引理/Lebesgue控制收敛定理）

1.1 测度论回顾

1.1.1 测度

我们用\(\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)\) 表示\(\mathbb{I}\mathbb{R}^n\) 的所有子集构成的集合，

定义1.1.1(外测度). 称映射\(:\mu:\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})\to[0,\infty]\) 为外测度，如果：

• \(\mu(\varnothing)=0\)

\[E\subset\bigcup_{h\in\mathbb{N}}E_{h}\Rightarrow\mu(E)\leq\sum_{h\in\mathbb{N}}\mu(E_{h}). \]

显然，由外测度的次可加性可以得到单调性，即对任意的\(E\subset F\), 有

\[\mu(E)\leq\mu(F). \]

正如\(\mathbb{R}^n\) 中，我们可以定义可测集，将外测度限制在可测集上就得到了测度.

定义1.1.2(可测集）. 称\(E\subset\mathbb{R}^n\) 是一\(\mu\) 可测集是指：

\[\mu(F)=\mu(F\cap E)+\mu(F\setminus E),\forall F\subset\mathbb{R}^n. \quad (1.1) \]

定义1.1.3( \(\sigma\) 代数). 设\(X\) 是一非空集合，称\(\mathcal{A}\subset2^X\) 的一个\(\sigma\) 代数是指：

1. \(\varnothing,X\in\mathcal{A}\)

2. \(A\in\mathcal{A}\Rightarrow X-A\in\mathcal{A}\)

3. \(A_{k}\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\in\mathcal{A}\)

如果\(C\in2^X\) ，我们用\(\sigma(C)\) 表示包含\(C\) 的最小的\(\sigma\) 代数，或者称为由\(C\) 生成的\(\sigma\) 代数

Caratheodory定理告诉我们，对于一外测度而言，所有可测集构成一\(\sigma\) 代数，将\(\mu\) 限制在\(\sigma\) 代数上就得到了测度

定理1.1.4(Caratheodory定理）.设\(\mu\) 是\(\mathbb{R}^n\) 上的一外测度，则可测集构成的全体\(\mathcal{M}(\mu)\) 是一\(\sigma\) 代数，并且对\(\mathcal{M}(\mu)\) 中的互不相交的集合\(\{A_k\}\) 有

\[\mu\left(\sum_{k\in\mathbb{N}}A_k\right)=\sum_{k\in\mathbb{N}}\mu(A_k). \quad (1.2) \]

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1.1.2 积分

类似Lebesgue测度，我们也可以先定义简单\(\mu\) -可测函数的积分，然后通过逼近的手段定义一般\(\mu\) -可测函数的极限，在此我们省略该过程，只列出一些对一般的测度依然成立的结论

定理1.1.5（非负可测函数的分解）. 设\(f:X\to[0,\infty]\) 是\(\mu\) 可测函数，则存在\(X\) 中的一族\(\mu\) 可测集\(\{A_k\}_{k\geq1}\) 使得：

\[f=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\chi_{A_{k}}}{k}. \]

定理1.1.6(Egrof定理). 设\(\mu\) 是\(IF_{\mathrm{L}}^{n}\) 上一测度，假设\(f_k:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,k=1,\cdots\) 是\(\mu\) 可测函数，假设\(A\subset\mathbb{R}^n\) 也是\(\mu\) 可测集，并且\(\mu(A)<\infty\) ，且：

\[f_k\to f\quad\mu\text{-a.e. on }A. \]

则对任意给定的\(\varepsilon>0\) ，存在一\(\mu\) 可测集\(B\subset A\) 使得：

1. \(\mu(A-B)<\varepsilon\) 2. \(f_k\) 在\(B\) 上一致收敛于\(f\)

这里需要给出一些说明：

2. \(\mu(A)<\infty\) 的条件不可省略（回忆在欧氏空间的定理叙述） ·该结论不需要对\(\mu\) 提任何正则性的要求，这是与Lusin定理等不同的地方

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下边给出一些常用的记号： 称\(\mu\) 可测函数\(u\) 是局部可积函数，如果对任意的紧集\(K\) 都有：

\[\int_K|u|\:\mathrm{d}\mu(x)<\infty, \]

并记为\(u\in L_{loc}^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\)

如果

\[\int_{\mathbb{R}^n}|u|\:\mathrm{d}\mu(x)<\infty, \]

则记\(u\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) .

类似可定义\(L_{lo\mathrm{c}}^{p}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) 和LP(R, ) \(L^p(\mathbb{R}^n,\mu)\) \(L^p(\mathbb{R}^n,\mu),1\leq p\leq+\infty.\)

对Lebesgue测度成立的三大定理，对\(\mathbb{R}^n\) 上一般的测度也是成立的，

定理1.1.7 (单调渐升定理)． 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列非负\(\mu\) 可测函数，并且\(u_h\) \(\leq\) \(u_{h+ 1}, \mu\) a. e. \(x\in \mathbb{R} ^n\) ，则：

\[\lim\limits_{h\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}^n}u_h\:\mathrm{d}\mu(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\sup\limits_{h\in\mathbb{N}}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

如果\(u_h\geq u_{h+1},\mu\)-a.e.\(x\in\mathbb{R}^n\) ，并且\(u_1\in L^1(\mathbb{R}^n,\mu)\) ，则

\[\lim\limits_{h\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}^n}u_h\:\mathrm{d}\mu(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\inf\limits_{h\in\mathbb{N}}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

定理1.1.8(Fatou引理）. 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列非负\(\mu\) -可测函数，则：

\[\int_{\mathbb{R}^{n}}\operatorname*{lim}_{h\to\infty}\inf u_{h}\:\mathrm{d}\mu(x)\leq\operatorname*{lim}_{h\to\infty}\inf_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}u_{h}\:\mathrm{d}\mu(x). \]

定理1.1.9(控制收敛定理). 如果\(\{u_h\}_{h\in\mathbb{N}}\) 是一列\(\mu\) 可测函数，并且逐点收敛到u，并且存在\(\nu\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu)\) 使得\(|u_h|\leq\nu,\mu\)-a.e.\(x\in\mathbb{R}^n\) ，则

\[\int_{\mathbb{R}^n}u\:\mathrm{d}\mu(x)=\lim_{h\to\infty}u_h\:\mathrm{d}\mu(x). \]

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最后我们来回忆一下Fubini定理，首先我们先来回顾乘积测度，设\(\mu,\nu\) 分别是\(\mathbb{R}^{n}\) 和\(\mathbb{R}^{m}\) 上的外测度，我们定义\(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\) 上的乘积测度\(\mu\times\nu\) 为

\[(\mu\times\nu)(G):=\inf_{\mathcal{F}}\sum_{E\times F\in\mathcal{F}}\mu(E)\cdot\nu(F). \]

其中\(\mathcal{F}\) 是\(G\) 的一族开覆盖，并且\(\mathcal{F}\) 中的元素都是\(E\times F,E\subset\mathbb{R}^n,F\subset\mathbb{R}^m\) 的形式.我们引入下边切片的记号：

\[G_x=\{y\in\mathbb{R}^m,(x,y)\in G\}. \]

我们陈述下边的Fubini定理

定理1.1.10（Fubini定理）.
设\(\mu,\nu\) 分别是\(\mathbb{R}^{n}\) 和\(\mathbb{R}^m\) 上的外测度

1.如果\(E\in\mathcal{M}(\mu),F\in\mathcal{F}(\mu)\) ，则\(E\times F\in\mathcal{M}(\mu\times\nu)\) ，并且还有：

\[\mu\times\nu(E\times F)=\mu(E)\nu(F). \]

2.如果\(G\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\) 相对\(\mu\times\nu\) 是\(\sigma\) 有限的，则\(G_{x}\in\mathcal{M}(\nu),\mu\) -a.e. \(x\in\mathbb{R}^n\) ，并且：\(x\in\mathbb{R}^n\mapsto\nu(G_x)\) 是\(\mu\) 可测的

\[(\mu\times\nu)(G)=\int_{\mathbb{R}^n}\nu(G_x)\:\mathrm{d}\mu(x). \]

3.如果\(L^1\left(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m,\mu\times\nu\right)\) ，则：

\[\begin{aligned} x\in\mathbb{R}^{n}\mapsto\int_{\mathbb{R}^{m}}u(x,y)\mathrm{d}\nu(y)\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mu) \\ \int_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}}u\:\mathrm{d}(\mu\times\nu)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\:\mathrm{d}\mu(x)\int_{\mathbb{R}^{m}}u(x,y)\:\mathrm{d}\nu(y). \end{aligned}\]

在本节的最后我们用Fubini定理给出一个非常有用的公式

推论1.1.11(Layer-Cake公式).
设$u\in L^p(\mathbb{R}n,\mu),p\in[1,\infty),u\geq 0 $ ，

记\(\{u > t\}: = \{x:u(x) > t\}\) ，则：

\[\int_{\mathbb{R}^n}|u|^p\:\mathrm{d}\mu=p\int_0^\infty t^{p-1}\mu(\{|u| > t\})\mathrm{d}t. \quad (1.3) \]

证明.我们考虑函数\(f(x,t)=pt^{p-1}\:\mathbb{l}_{(0,u(x))}(t)\) 以及测度\(\mu\times\mathcal{L}\) ，使用Fubini定理就得到了：

\[RHS\:=\:\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{0}^{\infty}f(x,t)\:\mathrm{d}\mu\:\mathrm{d}t=\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{0}^{u(x)}pt^{p-1}\:\mathrm{d}t\:\mathrm{d}\mu=LHS\:. \]

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1.2 Borel测度

我们用\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) 表示\(\mathbb{R}^n\) 全体开集生成的\(\sigma\) 代数

1.2.1 Borel测度的结构

定义1.2.1(Borel测度).设\((\mathbb{R}^n,\mu,\mathcal{M})\) 是一测度空间，称\(\mu\) 是一Borel测度是指\(,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset\) M.

对于Borel测度而言，Borel集上的测度是由那些立方体所决定的.我们采用一种“代数”形式的证明方法来说明这一点

定义1.2.2 \(\pi\) 类） 称\(\mathcal{P}\subset2^X\) 是\(\pi\) 类，如果：

\[A,B\in\mathcal{P}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{P}. \]

定义1.2.3( \(\lambda\) 类). 称\({\mathcal{L}}\subset2^X\) 是\(\lambda\) 类，如果：

1. \(X\in\mathcal{L}\)

2. \(A,B\in\mathcal{L}\) 且\(B\subset A\Rightarrow A-B\in\mathcal{L}\)

3. 如果\(A_k\in\mathcal{L}\) 并且\(A_k\subset A_{k+1}\) 则\(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in\mathcal{L}.\)

定理1.2.4 \((\pi-\lambda\) 定理）. 设\(P\) 是\(\pi\) 类\(,\mathcal{L}\) 是\(\lambda\) 类，且\(P\subset\mathcal{L}\) ，则

\[\sigma(\mathcal{P})\subseteq\mathcal{L} \]

证明.1.定义

\[S:=\bigcap_{\mathcal{L}^{\prime}\supseteq\mathcal{P}}\mathcal{L}^{\prime} \]

其中\(\mathcal{L}^{\prime}\) 是包含\(P\) 的\(\lambda\) 类.可以直接验证\(S\) 也是一个\(\lambda\) 类

2.我们证明\(S\) 是一个\(\pi\) 类.即如果\(A,B\in S\) ，那么\(A\cap B\in S.\) 定义

\[\mathcal{A}:=\{C\subseteq X\mid A\cap C\in S\}. \]

由于\(S\) 是\(\lambda\) 类，故\(\mathcal{A}\) 也是\(\lambda\) 类，故\(S\subset\mathcal{A}.\) 因此如果\(B\in S\) ，那么\(B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{S}\)

3.我们证明\(S\) 是一个\(\sigma\) 代数.由于\(\varnothing\in S\) 因此\(\varnothing=X-X\in S.\) 因此\(A\in\mathcal{S}\Rightarrow X-A\in\) \(S\) ，故\(S\) 对补运算是封闭的.再假设\(A_k\in S\) ，令\(Bn=\bigcup_{k=1}^n Ak\)，由于\(S\) 是一\(\pi\) 类，因此对有限交运算封闭\(,S\) 是\(\lambda\) 类故对补运算封闭，从而得到对有限并运算封闭，故\(B_n\in S\) ，而\(B_n\) 是一列递增的集合，故\(\lim Bn\in S\)，故\(S\) 对任意并封闭，因此\(S\) 是一个\(\sigma\) 代数

4.因为\(\mathcal{P}\subset S\) ，故

\[\sigma(\mathcal{P})\subseteq S\subseteq\mathcal{L}. \]

利用上边的定理，我们就可以看出对于一个有限Borel测度，其在Bore集上的值完全由其在长方体上的测度决定，

定理1.2.5. 设\(\mu,\nu\) 是两个(有限)Borel测度，并且对任意的平行于坐标轴的立方体

\[R=\{x\in\mathbb{R}^{n}|-\infty\leq a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\leq\infty,i=1,\cdots,n\} \]

有\(\mu(R)=\nu(R)\) ，则对任意的\(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) ，都有：

\[\mu(B)=\nu(B). \]

证明.1.我们\({\mathcal P}=\{R\in\mathbb{R}^{n}|R\) 是上述定义的方体),则\(P\) 是\(\pi\) 类

2.令

\[\mathcal{L}:=\left\{B\subseteq\mathbb{R}^{n}\mid B\:\mathrm{is}\:\mathrm{Borel},\:\mu(B)=\nu(B)\right\}. \]

则\(L\) 是\(\lambda\) 类

3.根据\(\pi-\lambda\) 定理，就得到了\(\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\subset\mathcal{L}.\) 于是定理得证

1.2.2 Borel测度的判定

下边我们给出判断一个测度是否为Borel测度的准则

定理1.2.6(Caratheodory准则). 设\(\mu\) 是一外测度，则\(\mu\) 是Borel测度\(\Longleftrightarrow\)

\[\mu\left(E_{1}\cup E_{2}\right)=\mu\left(E_{1}\right)+\mu\left(E_{2}\right),E_{1},E_{2}\subset\mathbb{R}^{n},\mathrm{dist}(E_{1},E_{2})>0. \quad (1.4) \]

证明.

1.设\(\mu\) 是一Borel集，因此\(\bar{E}_1\) 是Borel集.取\(E_1\cup E_2\) 作试验函数，于是如果\(d(E_{1},E_{2})>0\) ，则\(E_{2}\cap\bar{E}_{1}=\varnothing\) ，因此有

\[\mu\left(E_{1}\cup E_{2}\right)=\mu\left(\left(E_{1}\cup E_{2}\right)\cap\overline{E_{1}}\right)+\mu\left(\left(E_{1}\cup E_{2}\right)\backslash\overline{E_{1}}\right)=\mu\left(E_{1}\right)+\mu\left(E_{2}\right). \]

2.反之如果(1.4)成立.那么要证明对于任意的闭集\(E\) ，他都是可测集，即证明对于任意的\(F\subset\mathbb{R}^{n}\) ，都有

\[\mu(F)\geq\mu(E\cap F)+\mu(F\backslash E),\mu(F)<\infty \]

为此我们定义

\[E_h=\left\{x\in F:\frac{1}{h+1}\leq\mathrm{dist}(x,E)<\frac{1}{h}\right\},\quad E_0=\{x\in F:\mathrm{dist}(x,E)\geq1\},h\in\mathbb{N},h\geq1 \]

则

\[\mu(F\cap E)+\mu(F\backslash E)\leq\mu(F\cap E)+\mu \]

参考文献

F. Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to Geometric Measure Theory. 2012.

L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition.

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From： https://www.cnblogs.com/mathzhou/p/18442923