容斥原理先从容斥原理开始。容斥原理的结论如下：\[|\bigcup\limits_{i=1}^{n}S_{i}|=\sum\limits_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\sum\limits_{a_{i}<a_{i-1}}|\bigcap_{i=1}^{m}S_{a_{i}}|\]证明的思路是考虑一个元素在每一个\(\bigcap\limits_{i=1}^{m}S_{a_{i}}\)

到底是什么算法让我觉得两道题就足以让我写一篇学习笔记呢？虽然两年半以前写过一道dp，正解的优化是单调队列，但是我拿线段树过了（卡着空间过的），所以那个dp并不能叫线段树优化dp。CF115ELinearKingdomRaces这个算是最“原汁原味”线段树优化dp。设\(dp_{i,j}\)表示第\(j\)

容斥原理先从容斥原理开始。容斥原理的结论如下：$$|\bigcup\limits_{i=1}^{n}S_{i}|=\sum\limits_{m=1}{n}(-1)\sum\limits_{a_{i}<a_{i-1}}|\bigcap_{i=1}^{m}S_{a_{i}}|$$证明的思路是考虑一个元素在每一个$\bigcap\limits_{i=1}^{m}S_{a_{i}}$里出现的次

二维区间修改+查询例题题目是求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ma_{i,j}\)我们可以定义一个差分数组\(d_{i,j}=a_{i,j}+a_{i-1,j-1}-a_{i-1,j}-a_{i,j-1}\)易知\(a_{i,j}=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^jd_{x,y}\)接着我们可以利用差分来简化题意，我

我们知道\(\det(A)=\sum\limits_{p}(-1)^{\sigma(p)}\prod\limits_{i}A_{i,p_i}\)，这是行列式的定义。我们定义\(A\)积和式为\(\sum\limits_{p}\prod\limits_{i}A_{i,p_i}\)。积和式的计算是NP的。但是有的时候我们可以用行列式来完成一些积和式可以完成的东西。比如最简

  10.4.3资源服务质量管理（ResourceQoS）本节对Kubernetes如何根据Pod的Requests和Limits配置来实现针对Pod的不同级别的资源服务质量控制（QoS）进行说明。在Kubernetes的资源QoS体系中，需要保证高可靠性的Pod可以申请可靠资源，而一些不需要高可靠性的Pod可以申请可靠性较低或者

更新日志2024/12/31：开工。添加网络流概念以及EK算法概念官方定义OI-wiki网络一种特殊有向图，有一个源点\(s\)与汇点\(t\)。图中每一条边都具有容量\(c\)，也就是流经流量上限。不存在的边\(c=0\)。可以视作流水，从源点开始进水（无限或有限），通过一条条边流开，每条边的尺

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写个题解。以后看一次后悔一次。TenderCarpenter不难发现，每个数单独一段一定是可行的。因为能够组成等边三角形。那么问题就变成了，能否分出一段长度不小于\(2\)的区间，使得其合法。显然的，\([l,r]\)的可行性不大于\([l+1,r]\)的可行性。那么枚举\(l=i,r=i+1\)判断是否合法

前言本栏目记录一些自己写出来的比较有意思的数学题。正文2020年全国高中数学联合竞赛模拟题（13）第一试压轴题的加强求所有自然数\(a\)，\(b\)，\(c\)，使得对于任意的\(n\in\mathbb{Z}\)，\(n>2\)，均有\[b-\frac{c}{(n-2)!}<\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{i^3-a}{i!}<b.\]解：

一大堆错，别喷了。前言下图取自某人的PPT，有删改。题面APIO2014序列分割题目大意你正在玩一个关于长度为\(n\)的非负整数序列的游戏，第\(i\)个位置的值为\(a_i\)。这个游戏中你需要把序列分成\(k+1\)个非空的块，为了得到\(k+1\)块，你需要重复下面的操作\(k\)

定理内容对于任意不全为\(0\)的整数\(a,b\)，方程\(ax+by=\gcd(a,b)\)一定有整数解\(x,y\)。证明引理\(1\)对于两个正整数\(a,b\)满足\(a>b\)可以推出\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmodb)\)。设\(a=kb+c,d\mid\gcd(a,b)\)，那么一定有\(d\mida,d\midb\)。通过移项可以

集训D11总结模拟赛总结T1题意\(k\)个大小为\(s_i\)的连通块,用\(k-1\)条边联通,设\(d_i\)为第\(i\)个连通块的度数(只考虑连的\(k-1\)条边).每种连边方案的权值为\(\prod\limits_id_i\),求所有方案的权值和.题解这个性质看一眼就能联想到经典的图

\(T1\)题解题意：有一张\(n\)个点的有标号无向图，分为了\(k\)个连通块，第\(i\)个连通块的大小是\(s_i\)，每个连通块都是完全图（节点之间两两有边）。要加\(k-1\)条边使得图连通，计算所有连边方案的权值和。假设第\(i\)个连通块被多加了\(d_i\)条边，那么该连边方案的权值为\(

首先通过手玩，发现对于小的\(n\)都有\(m_{\max}\len\)，于是直接猜测这个结论并尝试证明。首先对于\(n\le4\)的情况，首先可以直接通过手玩知道\(m_{\max}\len\)。对于\(n>4\)的情况，考虑\(n\)从小到大证明。若\(m>n\)，则\(\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{de

HardDemonProblemSwingisopeningapancakefactory!Agoodpancakefactorymustbegoodatflatteningthings,soSwingisgoingtotesthisnewequipmenton2Dmatrices.Swingisgivenan$n\timesn$matrix$M$containingpositiveintegers.Hehas$q

文章目录说明第3章极限导论3.1~43.5关于渐近线的两个常见误解3.6三明治定理第4章求解多项式的极限问题4.1x→a

Index链形均分纸牌每次仅可交换\(1\)张每次可交换多张环形均分纸牌每次仅可交换\(1\)张每次可交换多张拓展性很强的贪心问题。或许能推广到树之类的结构上，或者拓展到方案计数问题之类，不过目前还没想好啦。链形均分纸牌每次仅可交换\(1\)张最基础的例题是这样的：

普通容斥反射容斥用于格路计数问题，可以在转移与格路计数类似的DP中见到，然后直接用数学方法优化。首先容易得到\((x_0,y_0)\)关于\(y=x+b\)对称得到\((y_0-b,x_0+b)\)。以及\((0,0)\)走到\((n,m)\)的方案数为\(\binom{n+m}n\)。先来考虑一下Catalan数的格路计数的推导方式解

题意给定\(n,k,x,y\)和\(2n\)个整数\(x_0,y_0,x_1,y_1,\dots,x_{n-1},y_{n-1}\)。找到最小的非负整数\(m\)，使得存在\(2m\)个实数\(x_0',y_0',x_1',y_1',\dots,x_{m-1}',y_{m-1}'\)满足以下条件，或报告不存在这样的\(m\)：\(\sum\limits_{i=0}^{m-1}

更新日志2024/12/09：开工。概念就不写引入部分了，直接进入正题。中国剩余定理用来求解形如下式的方程的一组特解：\[\begin{cases}x\equivr_1\pmod{m_1}\\x\equivr_2\pmod{m_2}\\x\equivr_3\pmod{m_3}\\\dots\\x\equivr_n\pmod{m_n}\end{cases}\]其中\(m\)

GLLF砍木棍题目描述上回GLLF对一个木头砍了$10^{100}$刀，他感觉有点累了，所以他决定砍一根木棍。他有一根长度为正整数$n$的木棍，把它砍成了若干个长度为正整数的小段，他很好奇有多少种砍法能使得这些小段木棍能拼成一个凸多边形。两种砍法不同当且仅当存在砍的位置不同。

1积性函数和狄利克雷卷积1.1积性函数1.1.1定义积性函数在以前的学习中遇到过很多，例如莫比乌斯函数\(\mu(n)\)，欧拉函数\(\varphi(n)\)等等。那么我们对积性函数定义如下：称定义域在正整数上的函数叫做数论函数（也叫算数函数）。对于一个数论函数\(f(n)\)，如果\(f(xy)=f(x)

AT_arc110_d[ARC110D]BinomialCoefficientisFun无语了无语了。原问题等价于将一个不超过\(m\)的序列划分为\(n+\suma\)可空段。法一：那么答案就是\(\sum\limits_{l=0}^{lim}\binom{l+T}T\)，观察组合意义是\((0,0)\)走到\(([0,lim],T)\)的方案数，也就是\((0,0)\)

P3714[BJOI2017]树的难题搞笑吧。单点取mx写成单点推平，调了半个小时。。首先数路径的题可以用点分治做到数路径\(O(n\logn)\)，接下来是怎么统计答案。注意到答案分为三类：两端同色，两端异色，只取一端。其中第三种可以和一条颜色为\(0\)，长度和权值和为\(0\)的路径匹配，转为