到底是什么算法让我觉得两道题就足以让我写一篇学习笔记呢？
虽然两年半以前写过一道dp，正解的优化是单调队列，但是我拿线段树过了（卡着空间过的），所以那个dp并不能叫线段树优化dp。
CF115E Linear Kingdom Races
这个算是最 “原汁原味” 线段树优化dp。
设 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(j\) 条路到第 \(i\) 条路全修的最大收益。（至于第 \(1\) 到 \(j - 1\) 条路，那不是我们该考虑的，这就是dp的精髓）那么有转移：
其中：\(\sum\limits_{l_{k} \ge j,r_{k} = i}p_{k}\) 和 \(\sum\limits_{l_{k} = r_{k} = i}p_{k}\) 分别表示右端点在 \(i\) 且被区间 \([i,j]\) 覆盖的的比赛收益之和 和 左端点和右端点都在 \(i\) 的比赛收益之和。
那为何在 \(j < i\) 时只用考虑 \(l_{k} \ge j,r_{k} = i\) 的比赛呢？因为 \(r_{k} < i\) 的比赛都在 \(dp_{i - 1,?}\) 考虑过了，而 \(r_{k} > i\) 的不是现在该考虑的。
但是，这题不可能这么简单，单是存状态和枚举状态就可以让我们爆炸了
先来优化空间：我们发现：\(\max\limits_{1 \le y \le x < i}dp_{x,y}\) 就是对于 \(i - 1\) 的答案，于是第二个方程就可以表示成 \(ans + (\sum\limits_{l_{k} = r_{k} = i}p_{k}) - c_{i}\) 。而我们发现第一个方程又只会从 \(i - 1\) 来转移，那么我们可以考虑什么？滚动数组啊。那么空间就优化完了。
现在来优化时间。我们设每一个 \(dp_{i,j}\) 都有一个待定值数组 \(tmp\) ，那么 \(dp_{i,j}\) 一定由 \(tmp\) 里的某一个值转移而来。对于暴力来说，就是每次新枚举一个新的状态，都给他一个新的 \(tmp\) 数组，但是我们要优化，我们就不可能每次用 \(\mathcal{O}(n)\) 给他一个新的 \(tmp\) 数组，我们应该继承上一个状态的 \(tmp\) 数组，并操作它使它变成当前状态的 \(tmp\) 数组。我们发现，每次转移，\(tmp\) 数组的 \([1,i]\) 项都会加上 \(c_{i}\) ，也会加上 \(\sum\limits_{l_{k} \ge j,r_{k} = i}p_{k}\) 。这不就是区间操作吗？我们就可以用线段树来维护这个值。线段树里装的就是待定值数组 \(tmp\) 。而对于 \(i = j\) 的情况，因为本来只有 \([1,i - 1]\) 的下标里有值，而我们要用到 \(tmp_{i}\) 的值，我们就可以给他赋值一个 \(ans\) ，正如同方程里的一样，而题目里让我们求最大的收益，那么线段树查询的就是区间 \([1,i]\) 里的最大值。这样，我们就做完了。
有些细节比如如何记录 \(r_{k} = i\) 的比赛会在代码里说明。
#include<bits/extc++.h>
#define int long long
#define ls (rt << 1)
#define rs (rt << 1 | 1)
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 5;
int n,m;
int a[maxn];
struct edge
{
int l,p;
edge *nxt;
}*head[maxn];
struct Nahida//不要关心这个名字
{
int l,r;
int val,lazy;
}tree[maxn << 2];
void push_up(int rt){tree[rt].val = max(tree[ls].val,tree[rs].val);}
void push_down(int rt)
{
if (!tree[rt].lazy)
return;
tree[ls].val += tree[rt].lazy;
tree[rs].val += tree[rt].lazy;
tree[ls].lazy += tree[rt].lazy;
tree[rs].lazy += tree[rt].lazy;
tree[rt].lazy = 0;
}
void build(int l,int r,int rt)
{
tree[rt].l = l;
tree[rt].r = r;
if (l == r)
{
tree[rt].val = tree[rt].lazy = 0;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(l,mid,ls);
build(mid + 1,r,rs);
}
void upd(int ql,int qr,int x,int rt = 1)
{
int l = tree[rt].l;
int r = tree[rt].r;
if (ql <= l && r <= qr)
{
tree[rt].val += x;
tree[rt].lazy += x;
return;
}
push_down(rt);
int mid = (l + r) >> 1;
if (ql <= mid)
upd(ql,qr,x,ls);
if (qr > mid)
upd(ql,qr,x,rs);
push_up(rt);
}
void adde(int l,int r,int p)
{
auto tmp = new edge;
tmp->l = l;
tmp->p = p;
tmp->nxt = head[r];
head[r] = tmp;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
int l,r,p;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> l >> r >> p;
adde(l,r,p);//用链式前向星（邻接表）记录右端点为i的比赛。
}
build(1,n,1);
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)//滚动数组滚掉一维，就可以存下了。
{//这里没有重新建树就是继承了上一个的tmp数组
upd(i,i,ans);//单点修改，增添一个ans
upd(1,i,-a[i]);//上面说的：区间更改
for (auto j = head[i]; j; j = j->nxt)
upd(1,j->l,j->p);//也是区间修改
ans = max(ans,tree[1].val);//记录答案
}
cout << ans;
return 0;
}