T4
考场用时：\(2\) h
期望得分：\(50\) pts
实际得分：\(0\) pts
考场一直在试图推式子，但是没能推出来，最后十分钟匆匆忙忙敲上的暴力还忘了取模，应该先把暴力写好，最后 \(10\) min检查一下前面的防止挂分。
这题就是推式子：
我们有方差公式的一个变形
设 \(b_i\) 表示原集合的子集 \(i\) 的元素和，则根据题意有：
\[S^2=\frac{1}{2^n}(\sum_{i=0}^{2^n} b_i^2-\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{2^n} b_i) \]第一部分看起来不太好惹，先来推第二部分：
不难发现，对于所有的 \(a_i\)，它们的地位实际上是相等的，所以所有数字现在所有子集中出现的次数与原来出现次数之比一定相等，那么分子分母消去这个比值，得到这个式子其实就是原集合的平均值：
\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \]再来考虑第一部分，发现对于它的展开式只有平方项和交叉项，对于平方项，显然每次出现，都会且仅会带来一个平方项，所以对于一个数 \(x\)，它的平方项个数就是它的出现次数 \(\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i}=2^{n-1}\)，而对于交叉项，考虑 \(x\) 与 \(y\) 的交叉项，这实际上是固定两个数，于是 \(2\times \sum_{i=0}^{n-2} \binom{n-2}{i}=2^{n-1}\)，当然也可以理解为：交叉项与平方项本质相同，所以出现个数也一致。
那么现在写一下总的式子：
\[S^2=\frac{1}{2^n}(2^{n-1}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}a_i\times a_j-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i) \]记 \(S_1=\sum_{i=1}^n a_i\)，并按照要求对上式乘以 \(4^n\)，得到答案即为：
\[2^n(2^{n-1}S_1^2-\frac{S_1}{n}) \]复杂度 \(O(n)\)。
标签：平方,frac,报告,11.5,sum,交叉,解题,pts,式子 From： https://www.cnblogs.com/wapmhac/p/16863671.html