标签：03 le infty int 概率密度数理统计分布多维随机变量

1. 二维随机变量

二维随机变量：设$E$是一个随机试验, 样本空间$S={e}$. 设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的两个随机变量, 向量$(X,Y)$叫做二维随机向量或二维随机变量
$n$维随机变量：设随机试验$E$的样本空间$S={e}. X_1, X_2, \dots,X_n$是定义在$S$上的$n$个随机变量, 则称向量 $(X_1, X_2, \dots,X_n)$为 $n$维随机变量（向量）
分布函数：设$(X,Y)$是二维随机变量, 对于任意实数$x,y$,有$F(x) = P\{(X\le x)\cap (Y\le y)\} = P\{X\le x,Y\le y\}$称$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的 分布函数,或称为随机变量$X$ 和$Y$ 的 联合分布函数
1. $F(x,y)$是变量$x$和$y$ 不减函数
2. $0\le F(x,y)\le 1$$F(-\infty,y)=F(x,-\infty) = F(-\infty,-\infty) = 0,F(+\infty, +\infty)=1$
3. $F(x,y)$关于 $x$右连续, 关于 $y$右连续
4. 对于任意$x_1 <x_2 , y_1 < y_2$，有
  \[P\{x_1< X\le x_2, y_1<Y\le y_2\} = F(x_2, y_2)-F(x_2, y_1)+ F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0 \]

2. 二维离散型随机变量

定义：$(X,Y)$的所有可能取值是有限对或可列无限多对
二维离散$(X,Y)$的分布律(联合分布律):$(X,Y)$的所有可能取值$(x_i , y_j ),P(X=x_i,Y=y_i) = p_{ij}$
分布律性质
1. $0\le p_{ij}\le 1$
2. $\sum_{j=1}^{+\infty}\sum_{i = 1}^{\infty}p_{ij}=1$
3. $F(x,y) = \sum_{x_i\le x,y_i\le y}p_{ij}$
二维连续型随机变量
1. 定义：设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x, y)$, 若存在一个非负函数$f (x, y)$，使得对任意$x, y$ ，有如下式子，则称$(X,Y)$为 二维连续型随机变量， $f (x,y)$称为$(X,Y)$的概率密度，或称为$X$和$Y$的 联合概率密度
  \[F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv \]
2. 概率密度性质
  1. $f(x,y)\ge 0$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$
  3. 在$f(x,y)$的连续点处，$f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}$
  4. $P((X,Y)\in G)=\iint\limits_{G}f(x,y)dxdy$，$G$是一个平面区域
    （拉动(x,y)矩形覆盖定义域（图中的蓝色三角形）的面积积分即为$F(x)$）

2. 边缘分布

1. 边缘分布函数

边缘分布函数：设$(X,Y)$为二位随机变量，其分布函数为$F(x, y)$，则$F_X(x)=P(X\le x)$是$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数，$F_Y(y)=P(Y\le y)$是$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布函数
$F_X(x) = F(x,\infty),F_Y(y)=F(\infty, y)$

2. 离散型随机变量的边缘分布律

若$(X,Y)$分布律为$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，则$(X,Y)$关于$X$的边缘分布律$p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}$；$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布律$p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}$
$\sum_{i = 1}^{\infty}p_{i\cdot}=1,\sum_{j=1}^{\infty}p_{\cdot j}=1$
离散型随机变量的边缘分布律列表

3. 连续性随机变量的边缘分布律

设$(X,Y)$概率密度为$f(x,y)$，则$F_X(x) = F(x,\infty)=\int_{-\infty}^{x}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy]dx$，同理，$F_Y(y) = F(\infty,y)=\int_{-\infty}^{y}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx]dy$
边缘概率密度：$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$

4. 常见的二维分布

均匀分布
1. 设$G$为一面积为$A$平面有界区域，若$(X,Y)$具有如下概率密度，则称$(X,Y)$在域$G$服从 均匀分布
  \[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{A},&(x,y)\in G \\ 0,&otherwise \end{matrix}\right. \]
2. 均匀分布的边缘分布 不一定 是均匀分布
二维正态分布
1. 设二维随机变量$(X,Y)$具有如下概率密度，其中$\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$是常数，且$\sigma_1,\sigma_2>0,|\rho|<1$则称$(X,Y)$为服从参数为$\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$的 二维正态分布，记为$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$
\[f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} \]
1. 二维正态分布的边缘分布 一定是 正态分布，且$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$
2. 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数$\rho$
3. 边缘分布均为正态分布的随机变量，联合分布 不一定 是二维正态分布

3. 条件分布

1. 离散型随机变量的条件分布

设$(X,Y)$是二维随机变量，其分布律为$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$，对固定 $i$, 若$p_{i\cdot}>0$，则$P(Y=y_i|X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$称为在条件$X=x_i$ 下,随机变量$Y$的条件分布律；对固定 $j$, 若$p_{\cdot j}>0$，则$P(X=x_i|Y=y_i)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$称为在条件$Y=y_i$ 下,随机变量$X$的条件分布律

2. 连续型随机变量的条件分布

给定$y$，设对于任意的$\varepsilon > 0$，$P(y<Y\le y + \varepsilon)$若对于任意实数$x$，极限$F_{X|Y}(x|y)=\lim_{\varepsilon\to 0^+}P(X\le x|y<Y\le y + \varepsilon)$存在，则称此极限值为在条件$Y=y$下随机变量$X$的 条件分布函数，记为$F_{X|Y}(x|y)$或者$P(X\le x|Y=y)$；同理可以定义F_{Y|X}(y|x)=\lim_{\varepsilon\to 0^+}P(Y\le y|x<X\le x + \varepsilon)$
注意：注意区分条件分布和条件概率，由于$P(Y=y)$可以为零，条件概率可能没有定义（连续型随机变量一定为零）
条件概率密度：设$(X,Y)$的概率密度$f(x,y),(X,Y)$关于$Y$的边缘概率密度为$f_Y(y)$，若对固定的$y,f_y(y)>0$，则称$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$为在$Y=y$的条件下$X$的 条件概率密度，条件分布函数可以写作$F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$；同理，若对固定的$x,f_x(x)>0$，则称$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$为在$X=x$的条件下$Y$的 条件概率密度，条件分布函数可以写作$F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^{y}\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv$
联合分布、边缘分布、条件分布的关系

4. 相互独立的随机变量

1. 相互独立

设$F(x,y),F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数以及边缘分布函数，如果对所有$x,y$，有$P(X\le x,Y\le y) = P(X\le x)\cdot P(Y\le y)$或者$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$，则称随机变量$X,Y$相互独立
相互独立等价条件
1. 连续型：$f(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y)$
2. 离散型：$p_{ij} = p_{i\cdot}p_{\cdot j}$
设随机变量$X$与$Y$相互独立,令$U=h(x),V=g(Y)$，其中$h(x),g(y)$为连续函数，则$U$与$V$也 相互独立
1. 推广1：设$(X_1,X_2,\dots, X_n)$的分布函数为$F(X_1,X_2,\dots, X_n)$，若对任意的实数$x_1,x_2,\dots,x_n$均有$F(x_1,x_2,\dots,x_n)=F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n)$，则称$X_1,X_2,\dots, X_n$相互独立（注意区分独立事件和独立变量）
2. 推广2：若对任意的实数$x_1,x_2,\dots,x_m; y_1,y_2,\dots, y_n$均有$F(x_1,x_2,\dots,x_m,y_1,y_2,\dots, y_n)$，则称$X_1,X_2,\dots,X_m$与$Y_1,Y_2,\dots,Y_n$相互独立
3. 推广3：设$X_1,X_2,\dots,X_m$与$Y_1,Y_2,\dots,Y_n$相互独立，则$X_i$与$Y_j$相互独立，其中$h,g$为连续函数，则$h(X_1,X_2,\dots,X_m)$与$Y_1,Y_2,\dots,Y_n$也 相互独立

5. 二维随机变量的函数的分布

1. 函数的分布

离散型随机变量的函数分布
1. 对于二维离散型随机变量$(X,Y)$，如果有$Z=f(X,Y)$，那么 $Z$的分布律就是$(X,Y)$在函数$f$的作用产生的值再对应相等求和即可
连续型随机变量的函数分布
1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，则利用 分布函数法
  \[\begin{aligned} F_Z(z) &= P(Z\le z)\\ &=P(g(X,Y)\le z)\\ &=P((X,Y)\in D_Z)\\ &=\iint\limits_{D_Z}f(x,y)dxdy\\ f_Z(z) &= F_Z^{'}(z) \end{aligned} \]

2. 常见的函数分布

$Z=X+Y$
1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=X+Y$的概率密度为$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$
2. 卷积公式：当$X,Y$相互独立的时候，有卷积公式$f_Z(z) = f_X(x)\ast f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx $
3. 推论
  1. 如果 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$而且相互独立，那么$Z=X+Y$也服从 正态分布，且$Z\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)$
  2. 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
    \[\sum_{i=1}^{n}c_iX_i\sim N(\sum_{i=1}^{n}c_i\mu_i,\sum_{i=1}^{n}c_i^2\sigma_i^2) \]
4. 推导
  \[\begin{aligned} F_Z(z) &= \iint\limits_{x+y\le z}f(x,y)dxdy\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{z}f(x,u-x)du\qquad(y = u-x)\\ &= \int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,u-x)dx]du\\ f_Z(z) &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx \end{aligned} \]
$Z=X-Y$
1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=X-Y$的概率密度为$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z+y,y)dy$
2. 互相关：当$X,Y$相互独立的时候，$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z+y)f_Y(y)dy = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(x-z)dx $
$Z=Y/X,Z=XY$
1. 对于二维连续型随机变量$(X,Y)$，设其概率密度为$f(x,y)$，那么$Z=Y/X,Z=XY$的概率密度分别为
  \[f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x,zx)dx\\ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx \]
2. 当$X,Y$相互独立时，$Z=Y/X,Z=XY$的概率密度分别为
  \[f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(zx)dx\\ f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx \]
3. 证明
最大值最小值分布
1. 设$X,Y$是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是$F_X(x),F_Y(y)$，那么对于任意的实数$z$
  1. $F_{max}(z) = P(max(X,Y)\le z)=P(X\le z , Y\le z)=P(X\le z)P(Y\le z)=F_X(z)F_Y(z)$
  2. $F_{min}(z) = P(min(X,Y)\le z)=1-P(min(X,Y)>z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$
2. 推广：设$X_1,\dots,X_n$相互独立,其分布函数分别为 $F_{X_i}(x_i)$
  1. $F_{max}(z)=\prod_{i=1}^nF_{X_i}(z)$
  2. $F_{min}(z)=1-\prod_{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]$
  3. 如果$X_1,\dots,X_n$相互独立而且具有相同分布函数$F(x)$，有$F_{max}(z)=[F(z)]^n,F_{min}(z)=1-[1-F(z)]^n$

$\Gamma$分布
如果随机变量$X$的概率密度为 $f(x)=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)}(\beta x)^{\alpha - 1}e^{-\beta x}\quad(x>0,\alpha>0,\beta >0)$其他区间为0
则称$X$服从参数为$\alpha,\beta$的分布，记为$X\sim \Gamma(\alpha,\beta)$
一般结论：如果$X_1,\dots,X_n$相互独立，而且$X_i$服从参数为$\alpha_i,\beta$的$\Gamma$分布，那么$X_1+\dots+X_n$服从参数为$\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n,\beta$的$\Gamma$分布

$\Gamma$函数
$\Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0)$

图像

标签：03,le,infty,int,概率密度,数理统计,分布,多维,随机变量
From： https://www.cnblogs.com/RadiumGalaxy/p/16860680.html

03 多维随机变量及其分布 | 概率论与数理统计

1. 二维随机变量

1. 二维随机变量

2. 二维离散型随机变量

2. 边缘分布

1. 边缘分布函数

2. 离散型随机变量的边缘分布律

3. 连续性随机变量的边缘分布律

4. 常见的二维分布

3. 条件分布

1. 离散型随机变量的条件分布

2. 连续型随机变量的条件分布

4. 相互独立的随机变量

1. 相互独立

5. 二维随机变量的函数的分布

1. 函数的分布

2. 常见的函数分布

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