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用一个简单的联立方程案例来讲解线性代数的应用。这个案例会涉及到矩阵和向量的概念，帮助你理解如何用线性代数解决实际问题。
案例：解一个简单的联立方程
假设我们有以下两个方程：
\[\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \]我们的目标是求出 (x) 和 (y) 的值。
第一步：把方程写成矩阵形式
我们可以把方程组写成矩阵的形式：
\[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \]这里：
- 左边的矩阵叫做系数矩阵（包含 (x) 和 (y) 的系数）。
- 中间的列向量是未知数 (x) 和 (y)。
- 右边的列向量是常数项。
第二步：用矩阵求解
我们需要解这个矩阵方程：
\[A \mathbf{v} = \mathbf{b} \]其中：
第三步：计算逆矩阵
对于 2 * 2矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]它的逆矩阵是：
\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]对于我们的矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \]行列式是：
\[ad - bc = (2 \times -1) - (3 \times 4) = -2 - 12 = -14 \]所以逆矩阵是：
\[A^{-1} = \frac{1}{-14} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{14} & \frac{3}{14} \\ \frac{4}{14} & -\frac{2}{14} \end{bmatrix} \]矩阵、
逆矩阵
行列式是什么？
第四步：用逆矩阵求解
计算：
\[x = \left(\frac{1}{14} \times 5\right) + \left(\frac{3}{14} \times 1\right) = \frac{5}{14} + \frac{3}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \]\[y = \left(\frac{4}{14} \times 5\right) + \left(-\frac{2}{14} \times 1\right) = \frac{20}{14} - \frac{2}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7} \]第五步：验证结果
我们得到：
\[x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7} \]代入原方程验证：
总结
通过这个案例，我们学会了如何用线性代数中的矩阵和逆矩阵来解联立方程。步骤如下：
