12.矩阵的秩及相关性质
12.1 k阶子式
12.1.1 k阶子式示例
设存在以下矩阵：
\[X_{mn}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\ &&......\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\\ \end{bmatrix} \]在矩阵中任选k行。如k=3，则有：
\[X_{mn}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c} \mathbf{x_{11}} & \mathbf{x_{12}} & x_{13} & ... & \mathbf{x_{1n}}\\ \hline \mathbf{x_{21}} & \mathbf{x_{22}} & x_{23} & ... & \mathbf{x_{2n}}\\ \mathbf{x_{31}} & \mathbf{x_{32}} & x_{33} & ... & \mathbf{x_{3n}}\\ \hline &&......\\ \mathbf{x_{m1}} & \mathbf{x_{m2}} & x_{m3} & ... & \mathbf{x_{mn}}\\ \hline \end{array} \end{bmatrix} \]以上分别选中第1行、第3行、第m行；第1列、第2列、第n列，则所选行列交叉处元素形成的行列式为：
\[\begin{vmatrix} {x_{11}} & {x_{12}}& {x_{1n}}\\ {x_{31}} & {x_{32}}& {x_{3n}}\\ {x_{m1}} & {x_{m2}}& {x_{mn}}\\ \end{vmatrix} \]称以上行列式为矩阵X的3阶子式
12.1.2 k阶子式的定义：
在\(m\times n\)的矩阵中，任取k行和k列（行列数均为k），则所选行列交叉处的\(k^2\)个元素所形成的行列式成为原矩阵的k阶子式，且k阶子式共有\(C_m^k \cdot C_n^k个\)
12.2 矩阵的秩
12.2.1 矩阵的秩的定义
若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D，且矩阵X的所有r+1阶子式均为0
则称数r为矩阵X的秩，记为R(X)；D为矩阵X的最高阶非零子式。
12.2.2 矩阵的秩相关性质
-
\(|X|=|X^T| \Rightarrow R(X)=R(X^T)\)
-
\(n\)阶方阵\(A\)的\(n\)阶子式为\(|A|\)，且：\(\begin{cases}R(A)=n，|A| \neq0（A可逆）\\R(A)<n，|A|=0（A不可逆） \end{cases}\)
12.3 矩阵求秩的方法
12.3.1 常规矩阵求秩
求以下矩阵A的秩R(A)：
\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ 4 & 7 & 1 \end{bmatrix} \]由计算可知，\(|A|=0\)，故\(R(A)<3\)
A的2阶子式中，取较简单的进行计算：
\[\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-1\neq0 \]由此，可知R(A)=2。
12.3.2 行阶梯形矩阵求秩
求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B)：
\[B= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 3 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]由\(B\)的第4行为全0行\(\;\Rightarrow |B|=0 \;\Rightarrow R(B)<4\)
故取\(B\)前3行中较简单的3阶子式（上三角行列式）进行计算：
\[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}=2\times3\times4=24\neq0 \]由此，可知R(B)=3
12.3.3 矩阵求秩方法总结
由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知：
-
常规求秩方法受限于复杂行列式的计算
-
而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质，简化了行列式计算过程，从而使矩阵求秩过程更为直观（矩阵的秩=非0行个数）