深度学习的12 个矩阵运算

在深度学习中，前馈神经网络是一种最简单且非常有用的网络。在后台，前馈神经网络只是一个复合函数，它将一些矩阵和向量相乘。

并不是说向量和矩阵是执行这些操作的唯一方法，但如果你这样做，它们就会变得非常高效。深度学习背后的核心数据结构包括
• 标量
• 向量
• 矩阵和
• 张。
矩阵运算用于许多深度学习算法的描述。

因此，如果您真的想成为深度学习领域的专业人士，那么您就无法逃避掌握其中的一些概念。因此，在本文中，我们将讨论用于描述深度学习方法的重要线性代数矩阵运算。
目录
我们将在本文中讨论的主题如下：
• 什么是矩阵？
• 如何加减不同的矩阵？
• 如何找到给定矩阵的形状和大小？
• 如何将密集矩阵转换为稀疏矩阵？
• 如何找到矩阵的转置？
• 如何找到矩阵的均值、方差和标准差？
• 如何找到矩阵的轨迹？
• 如何从矩阵中提取最小和最大元素？
• 如何找到矩阵的行列式？
• 如何乘以给定的矩阵？
• 如何将特定操作应用于矩阵的每个元素？
• 如何找到矩阵的逆函数？
• 如何将矩阵重塑为不同的大小？
什么是矩阵？
矩阵是由数字组成的矩形数组，可以看作是 2个 nd 阶张量。如果 m 和 n 是正整数，即 m、n ∈ N，则 m×n 矩阵包含 m*n 个元素，其中 m 个行数和 n 个列数。
m×n 矩阵的图形表示如下所示：

有时，我们使用以下矩阵的缩写来代替完整的矩阵组件：

例如-
在这个例子中，在 numpy 库的帮助下，我们将创建一个矩阵。并检查形成的矩阵的维度。

import numpy as np
matrix = np.array([[45,34],[67,58]])
# Create a matrix
print("The original matrix is given by n", matrix)
# Check the dimension of the matrix
print("The dimension of the given matrix is", matrix.ndim)

矩阵加法和减法

在本节中，我们将使用 add 和 subtract 方法进行矩阵加法和减法。这些方法采用两个参数，并分别返回这些矩阵的和值和差值。如果矩阵的形状不同，则会引发一个错误，指出无法进行加法或减法。

matrix_1 = np.array([[45,34],[67,58]])
matrix_2 = np.array([[35,24],[57,48]])
# Add the two matrices
print("The result after adding matrix 1 and matrix 2 is given by n" , np.add(matrix_1, matrix_2))
# Subtract one matrix from the other matrices
print("The result after subtracting matrix 1 from matrix 2 is given by n" , np.subtract(matrix_1, matrix_2))
print("The result after subtracting matrix 2 from matrix 1 is given by n" , np.subtract(matrix_2, matrix_1))

输出：

The result after adding matrix 1 and matrix 2 is given by 
 [[ 80  58]
 [124 106]]
The result after subtracting matrix 1 from matrix 2 is given by 
 [[10 10]
 [10 10]]
The result after subtracting matrix 2 from matrix 1 is given by 
 [[-10 -10]
 [-10 -10]]

矩阵的形状和大小
在本节中，我们将找到形状，即给定矩阵中的行数和列数，以及大小，即给定矩阵的矩阵中的元素数。

matrix = np.array([[45,34,75],[67,58,89]])
# Finding number of rows and columns in the matrix
print("The number of rows and columns in the given matrix are " + str(matrix.shape[0]) + " and " + str(matrix.shape[1]) + " respectively")
# Number of elements in the matrix
print("The size of the given matrix is" , matrix.size)

输出：

The number of rows and columns in the given matrix are 2 and 3 respectively
The size of the given matrix is 6

将给定的 Dense 矩阵转换为 Sparse 矩阵
让我们首先了解 Sparse 和 Dense Matrix 的确切含义。
稀疏矩阵是主要由零值组成的矩阵。稀疏矩阵不同于大部分非零值的矩阵，后者被称为密集矩阵。

from scipy import sparse
# Create a Dense Matrix
dense_matrix = np.array([[0,0],[0,17],[78,0]])
# Convert Dense matrix to Sparse matrix
sparse_matrix = sparse.csr_matrix(dense_matrix)
print("The sparse matrix corresponding to a given dense matrix is given by n" , sparse_matrix)

输出：

The sparse matrix corresponding to a given dense matrix is given by 
   (1, 1)	17
  (2, 0)	78

矩阵转置
在 Matrix Transpose 中，我们可以将行向量转换为列向量，反之亦然，即 row 变成 columns，columns 变成 rows。
如果我们有矩阵 A = [aij]MXN，则此矩阵的转置为 AT= [aij]n×m

import numpy as np
matrix = np.array([[45,34],[67,58]])
print("The original matrix is given by n" , matrix)
print("The transpose matrix of the given matrix is n" , matrix.T)

输出：

The original matrix is given by 
 [[45 34]
 [67 58]]
The transpose matrix of the given matrix is 
 [[45 67]
 [34 58]]

矩阵的均值、方差和标准差
在本节中，我们将尝试找到一些与矩阵相关的统计内容。在这里，我们使用 numpy 函数计算矩阵的平均值、方差和标准差。

import numpy as np
matrix = np.array([[45,34],[67,58], [23,89]])
# Finding the mean of a matrix elements
print("The mean of the elements of a matrix is equal to", np.mean(matrix))
# Finding the Variance of a matrix elements
print("The variance of the elements of a matrix is equal to", np.var(matrix))
# Finding the Standard Deviation of a matrix elements
print("The standard deviation of the elements of a matrix is equal to", np.std(matrix))
print("The standard deviation of the elements of a matrix is equal to", np.sqrt(np.var(matrix)))

输出：

The mean of the elements of a matrix is equal to 52.666666666666664
The variance of the elements of a matrix is equal to 473.5555555555555
The standard deviation of the elements of a matrix is equal to 21.761331658599286
The standard deviation of the elements of a matrix is equal to 21.761331658599286

矩阵的跟踪

在本节中，我们将尝试找到矩阵的轨迹，即给定矩阵中存在的所有对角线元素的总和。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,3],[4,5,6], [7,8,9]])
# Get the diagonal elements of a matrix
print("The diagonal elements of a given matrix are n", matrix.diagonal())
# Finding the trace of the matrix
print("The trace of a given matrix is equal to", matrix.diagonal().sum())

输出：

The diagonal elements of a given matrix are 
 [1 5 9]
The trace of a given matrix is equal to 15

从 Matrix 中查找最小和最大元素
在本节中，我们将尝试找到矩阵的最小和最大元素，即所有元素中具有最高和最低值的元素。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,3],[4,5,6], [7,8,9]])
# Find the minimum element of the matrix
print("The minimum element in a given matrix is", np.min(matrix))
# Find the maximum element of the matrix
print("The maximum element in a given matrix is", np.max(matrix))

输出：

The minimum element in a given matrix is 1
The maximum element in a given matrix is 9

矩阵的行列式

在本节中，我们将尝试找到矩阵的行列式。在这里，为了计算行列式，我们使用 Numpy 包中的线性代数模块。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]])
# Find the determinant of the matrix
print("The determinant of the given matrix is equal to", np.linalg.det(matrix))

输出：

The determinant of the given matrix is equal to 9.999999999999993

矩阵乘法
形状为 （m x n） 的矩阵和形状为 （n x p） 的 B 矩阵相乘，得到形状为 （m x p） 的 C。请记住，在对矩阵进行乘法时，第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数相同，以便无误地执行乘法。

在本节中，我们将尝试求两个矩阵的乘法。

import numpy as np
matrix_1 = np.array([[45,34],[67,58]])
matrix_2 = np.array([[35,24],[57,48]])
print("The matrix multiplication of given two matrices is given by n", np.matmul(matrix_1, matrix_2))

输出：

The matrix multiplication of given two matrices is given by 
 [[3513 2712]
 [5651 4392]]

使用内联函数 （Lambda） 的元素操作
在此示例中，我们将尝试为矩阵的每个元素添加某个值。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]])
addition = lambda i:i+5
add_5_vec = np.vectorize(addition)
print("The matrix after adding 5 to all its elements is n", add_5_vec(matrix))

输出：

The matrix after adding 5 to all its elements is 
 [[ 6  7  9]
 [ 8  9 11]
 [12 13 10]]

矩阵的逆
在本节中，我们将尝试找到矩阵的逆函数。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,4],[3,4,6], [7,8,5]])
# Finding the inverse of a matrix
print("The inverse matrix of a given matrix is n", np.linalg.inv(matrix))

输出：

The inverse matrix of a given matrix is 
 [[-2.8  2.2 -0.4]
 [ 2.7 -2.3  0.6]
 [-0.4  0.6 -0.2]]

重塑给定的矩阵
在本节中，我们将尝试重塑给定的矩阵，即更改给定矩阵的形状。但在这里我们必须注意，重塑矩阵后大小保持不变，即元素的数量保持不变。

import numpy as np
matrix = np.array([[1,2,4],[3,4,6],[7,8,5],[9,2,1]])
print("The reshaped matrix is given by n", matrix.reshape(6,2))

输出：

The reshaped matrix is given by 
 [[1 2]
 [4 3]
 [4 6]
 [7 8]
 [5 9]
 [2 1]]

最后推荐：一个GPU矩阵乘法运算工具-GPUMatrix1.23【Windows版本】
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