含参积分
做本章的题时请忘掉复变（虽然它真的很好用。。。）
含参正常积分
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含参正常积分的形式
\[F(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,t)dt \] -
含参正常积分的连续性
\(f\) 在 \(G(a,b)=\{a\leq x\leq b,c(x)\leq t\leq d(x)\}\) 上连续，则 \(F\) 在 \([a,b]\) 上连续。
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含参正常积分的可微性（求导与积分换序）
\(f\) 在包含 \(G(a,b)\) 的开集上可微，\(c,d\) 可微，则 \(F\) 在 \([a,b]\) 上可微且
\[F'(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f_x(x,t)dt + f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x). \] -
含参正常积分的可积性（累次积分可换序的条件）
\(f\) 在 \([a,b]\times [c,d]\) 上连续，则 \(F(x) = \int_c^d f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可积，且
\[\int_a^bdx\int_c^df(x,t)dt = \int_c^ddt\int_a^bf(x,t)dx. \]
例 1 计算积分
\[I(\alpha) = \int_0^1 \frac{\ln(1+\alpha x)}{1+x^2}dx \]其中 \(\alpha \in [0,1]\)。
含参反常积分
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形式（以上限无穷积分为例）
\[F(x) = \int_c^\infty f(x,t)dt \] -
含参反常积分的一致收敛性
设 \(f(x,t)\) 定义在无界区域 \([a,b] \times [c,\infty)\) 上，且存在 \(F(x)\) 使得
\[\forall \epsilon>0, \exists N>c, s.t. \forall M>N, \forall x\in [a,b], \bigg|\int_c^M f(x,t)dt - F(x)\bigg|<\epsilon \]则称反常积分 \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(F(x)\)。
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一致收敛的证明方法
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Cauchy 准则
一致收敛等价于
\[\forall \epsilon>0, \exist N>c, s.t. \forall N<M_1<M_2, \forall x\in [a,b], \bigg|\int_{M_1}^{M_2}f(x,t)dt\bigg|<\epsilon. \]再令 \(M_2\rightarrow \infty\)，上式又等价于
\[\lim_{N\rightarrow +\infty} \sup_{x\in [a,b]}\bigg|\int_N^{\infty}f(x,t)dt\bigg|=0. \] -
Weierstrass \(M\) 判别法
设函数 \(g(t)\) 满足
\[|f(x,t)|\leq g(t), \forall x\in [a,b],\forall t\in [c,\infty) \]且 \(\int_c^{+\infty} g(t)dt\) 收敛，则 \(\int_c^{+\infty} f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。
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Abel判别法
- \(\int_c^{\infty} f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛
- \(\forall x\in [a,b]\)，\(g(x,t)\) 关于 \(t\) 单调，且 \(g(x,t)\) 在 \(x\in [a,b]\) 上一致有界
则 \(\int_c^\infty f(x,t)g(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。
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Dirichlet 判别法
- 对任意 \(N>c\)，\(\int_c^N f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上一致有界
- \(\forall x\in [a,b]\)，\(g(x,t)\) 关于 \(t\) 单调递减，当 \(t\rightarrow \infty\) 时 \(g(x,t)\) 在 \(x\in [a,b]\) 上一致收敛于 \(0\)
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内闭一致收敛：设 \(f(x,t)\) 定义在 \((a,b)\times [c,\infty)\) 上，且对任意 \([a',b']\subset (a,b)\)，\(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in [a',b']\) 上一致收敛，则称 \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \((a,b)\) 上内闭一致收敛。
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含参反常积分的连续性
设 \(I\) 是区间（端点处开闭均可），若
- \(f(x,t)\) 在 \(I\times [c,\infty)\) 上连续
- \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in I\) 上（内闭）一致收敛
则 \(F(x) = \int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in [a,b]\) 上连续。
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含参反常积分的可微性（求导与积分换序）
- \(f(x,t)\) 在 \(I\times [c,\infty)\) 上连续
- \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in I\) 上收敛
- \(\int_c^\infty f_x(x,t)dt\) 在 \(x\in I\) 上（内闭）一致收敛
则 \(F(x) = \int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(I\) 上可微且 \(F'(x) = \int_c^\infty f_x(x,t)dt\)。
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含参反常积分的可积性（累次积分换序）
- \(f(x,t)\) 在 $[a,b]\times [c,\infty) $ 上连续
- \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in [a,b]\) 上一致收敛
则 \(F(x) = \int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可积，且
\[\int_a^bdx\int_c^\infty f(x,t)dt = \int_c^\infty dt\int_a^b f(x,t)dx. \] -
积分区间均为无穷的累次积分换序
- \(f(x,t)\) 在 \([a,\infty)\times [c,\infty)\) 上连续
- \(\int_c^\infty f(x,t)dt\) 在 \(x\in [a,\infty)\) 上内闭一致收敛
- \(\int_a^\infty f(x,t)dx\) 在 \(t\in [c,\infty)\) 上内闭一致收敛
- \(\int_a^\infty dx\int_c^\infty f(x,t)dt\) 和 \(\int_c^\infty dt\int_a^\infty f(x,t)dx\) 至少一个收敛
则
\[\int_a^\infty dx\int_c^\infty f(x,t)dt = \int_c^\infty dt\int_a^\infty f(x,t)dx \]
例 2 计算积分
\[I(\alpha) = \int_0^\infty e^{-\alpha x}\frac{\sin x}xdx \]例 3 计算积分（可以用 Euler 积分 \(\int_0^\infty e^{-x^2}dx = \frac {\sqrt\pi}2\)）
\[I(\alpha) = \int_0^\infty e^{-x^2}\cos\alpha xdx \]\(\Gamma\) 函数
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\(\Gamma\) 函数
\[\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx, s>0 \] -
\(\Gamma\) 函数的常用性质
- \(\Gamma\) 在 \((0,\infty)\) 上连续可微
- \(\Gamma(n) = (n-1)!, n\in \mathbb{N}\)
- \(\Gamma(\frac 12) = \sqrt \pi\)
- \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)
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与 \(\Gamma\) 函数有关的积分
\[\int_0^\infty x^ne^{-x^m}dx = \frac 1m\Gamma(\frac{n+1}m) \] -
\(\Beta\) 函数
\[\Beta(\alpha,\beta) = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt, \alpha,\beta>0 \] -
\(\Beta\) 函数的常用性质
- \(\Beta\) 在 \((0,\infty)^2\) 上连续
- \(\Beta(\alpha,\beta) = \Beta(\beta,\alpha)\)
- \(\Beta(\alpha,\beta) = \dfrac {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)
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与 \(\Beta\) 函数相关的积分
\[\int_0^{\frac \pi 2} \cos^p\theta\sin^q\theta = \frac 12\Beta(\frac {p+1}2, \frac {q+1}2) \]
微分形式
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微分形式：
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0-形式：\(P\)
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1-形式：二维 \(Pdx+Qdy\)，三维 \(Pdx+Qdy+Rdz\)
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2-形式：二维 \(Pdxdy\)，三维 \(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\)
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3-形式：\(Pdxdydz\)
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\(dydx=-dxdy, dxdx = 0\)
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微分算子：\(k\)-形式 \(\omega\) 在微分算子作用下会变成 \(k+1\)-形式。
- \(df = f_xdx+f_ydy+f_zdz\)
- \(d(\omega+\eta) = d\omega+d\eta\)
- \(d(\omega\eta) = \omega d\eta + \eta d\omega\)
- \(d(dx)=0\)
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微分算子对 \(1,2\) 形式的作用
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\(d(Pdx+Qdy) = (Q_x-P_y)dxdy\)（对应格林公式）
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\(d(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) = (P_x+Q_y+R_z)dxdydz\)（对应高斯公式）
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\(d(Pdx+Qdy+Rdz) = (Q_z-R_y)dydz + (R_x-P_z)dzdx + (P_y-Q_x)dxdy\)（对应斯托克斯公式）
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由此可以统一这三个公式
\[\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega d\omega \]其中 \(\Omega\) 是二维区域/三维区域/三维曲面，\(\partial\Omega\) 是它的边界二维曲线/三维曲面/三维曲线。\(\omega\) 在 \(\Omega\) 中连续可微。
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恰当微分形式
若微分形式 \(\omega\) 满足 \(d\omega=0\)，则称 \(\omega\) 为恰当微分形式。若 \(\omega\) 为恰当微分形式且在 \(\Omega\) 中连续可微，则 \(\int_{\partial\Omega}\omega=0\)。
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恰当微分形式存在原函数
若微分形式 \(\omega\) 为恰当微分形式，则存在微分形式 \(\eta\) 满足 \(d\eta=\omega\)。
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1-形式原函数的求法
任取一条 \((x_0,y_0,z_0)\) 到 \((x,y,z)\) 的曲线 \(\gamma\)，
\[F(x,y,z) = \int_\gamma P(s,t,u)ds+Q(s,t,u)dt+R(s,t,u)du \]特别地，可以取三段平行于坐标轴的折线：
\[F(x,y,z) = \int_{x_0}^x P(t,y_0,z_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t,z_0)dt+\int_{z_0}^z R(x,y,t)dt \]