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线性代数9.矩阵的逆-分块矩阵

时间:2025-01-06 17:35:05浏览次数:7  
标签:11 &...& end 分块 s1 矩阵 线性代数 bmatrix

9.矩阵的逆-分块矩阵

9.1 分块矩阵的加法

设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵,且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块,其中:

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &...&A_{1t}\\ &...&\\ A_{s1} &...&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[B= \begin{bmatrix} B_{11} &...&B_{1t}\\ &...& \\ B_{s1} &...&B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则:

\[A+B= \begin{bmatrix} A_{11}+B_{11} &...&A_{1t}+B_{1t}\\ & ...&\\ A_{s1}+B_{s1} &...&A_{st}+B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

9.2 分块矩阵的乘法

(1)设A为\(m\times n\)的矩阵,\(\lambda \in R\),将A划分为\(s \times t\)块:

\[A=\begin{bmatrix} A_{11} &...&A_{1t}\\ &...&\\ A_{s1} &...&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则:

\[\lambda \cdot A= \begin{bmatrix} \lambda A_{11} &...& \lambda A_{1t}\\ &...&\\ \lambda A_{s1} &...& \lambda A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

(2)设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵,且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块,其中:

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &...&A_{1t}\\ &...&\\ A_{s1} &...&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[B= \begin{bmatrix} B_{11} &...&B_{1t}\\ &...& \\ B_{s1} &...&B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则:

\[A\times B= \begin{bmatrix} C_{11} &...&C_{1t}\\ &...&\\ C_{s1} &...&C_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[其中每块均按矩阵乘法规则进行计算:\\ C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}+...+A_{1t}B_{s1}\\ ...\\ C_{s1}=A_{s1}B_{11}+A_{s2}B_{21}+A_{s3}B_{31}+...+A_{st}B_{s1}\\ ... \]

9.3 分块矩阵的转置

设A为\(m\times n\)的矩阵,将A划分为\(s \times t\)块:

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &...&A_{1t}\\ &...&\\ A_{s1} &...&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则:

\[A^T= \begin{bmatrix} A^T_{11} &...&A^T_{1t}\\ &...&\\ A^T_{s1} &...&A^T_{st}\\ \end{bmatrix} \]

9.4 分块对角阵

设A为\(m\times n\)的矩阵,若A中的元素分块后可形成如下的对角矩阵:

\[A= \begin{bmatrix} A_1 &0&...&0 &0 &0 \\ 0 &A_2 & 0 &...&0 &0\\ 0 & 0 & A_3 &0 &... &0\\ & & &......\\ 0 & 0 & 0 &... &0 & A_n \end{bmatrix}\\ \]

则称A为分块对角阵,其性质与对角矩阵相同,如下:

\[性质1:|A|=|A_1|\cdot |A_2|\cdot ......\cdot |A_n|\\ \]

\[性质2: A^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1}_1 &0&...&0 &0 &0 \\ 0 &A^{-1}_2 & 0 &...&0 &0\\ 0 & 0 & A^{-1}_3 &0 &... &0\\ & & &......\\ 0 & 0 & 0 &... &0 & A^{-1}_n \end{bmatrix}\\ \]

9.5 协方差矩阵

设存在样本\(x_i \in R^n(i=1,2,3,...,N)\),且存在一矩阵\(X_{N\times n}\),满足:

\[X_{N\times n}= \begin{bmatrix} x^T_1\\ \\ x^T_2\\ \\ x^T_3\\ ...\\ \\ x^T_N\\ \end{bmatrix} \]

则:

\[X^T_{n\times N}= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_N \end{bmatrix} \]

\[\Rightarrow (X^T\cdot X)_{NN}=\sum_{i=1}^N x^T_i \cdot x_i \]

\[称(X^T\cdot X)为样本的协方差矩阵 \]

标签:11,&...&,end,分块,s1,矩阵,线性代数,bmatrix
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