拉普拉斯变换（Laplace Transform）是将一个时间域的函数转换到复频域的数学工具。它在信号处理、系统分析、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些常用的拉普拉斯变换对：
| 序号 | \(f(t)\) | \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}\) |
|---|---|---|
| 1 | \(\delta(t)\) | 1 |
| 2 | \(u(t)\) | \(\frac{1}{s}\) |
| 3 | \(tu(t)\) | \(\frac{1}{s^2}\) |
| 4 | \(e^{\pm at}u(t)\) (a > 0) | \(\frac{1}{s \mp a}\) |
| 5 | \(\sin(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\) |
| 6 | \(\cos(\omega_0 t)u(t)\) | \(\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}\) |
| 7 | \(\sinh(\beta t)u(t)\) | \(\frac{\beta}{s^2 - \beta^2}\) |
| 8 | \(\cosh(\beta t)u(t)\) | \(\frac{s}{s^2 - \beta^2}\) |
| 这些拉普拉斯变换对是解决线性微分方程和分析线性时不变系统的重要工具。通过使用拉普拉斯变换，可以将复杂的微分方程转换为代数方程，从而简化求解过程。 |