[学习笔记 #5] 哈希

下面 [ ] 起来的是我还不确定的。

前言

从今年暑假到现在（2024.11.13），考了多少道哈希，我一道都没场切。前年 CSP-S T3 星战没想出哈希做法，去年 CSP-S T2 又没想出哈希做法。满满的黑历史……

早就想总结了，没时间。今天忍不住了。

哈希表和下面说的哈希应该不是一回事。
概括：缩小范围。可以用来存储哈希值。
具体实现：
- 当集合 \(A\) 较大时，用一个函数 \(f : A \rightarrow B\) 把 \(A\) [映射] 到一个较小的集合 \(B\)。
- 查找时给出 \(B\) 中的元素，对应回 \(A\) 中的元素。
- 但是 \(B\) 中的一个元素可能对应 \(A\) 中的多个元素，即哈希冲突（或称哈希碰撞）。
  - 两种解决方法：
    1. 让 \(B\) 中的每个元素挂一串（\(A\) 中的）元素。查找时遍历这一串。
    2. 让 \(B\) 中的每个元素只对应一个（\(A\) 中的）元素。那么每添加一个（\(A\) 中的）元素时，如果对应的（\(B\) 中）元素没有对应元素，就对应上，否则接着找，直到找到一个还没对应的，对应上。
实际使用：
- 可以用 map 或 unordered_map。map 带 \(\log\)，但 unordered_map [[可能会被卡]]。
- 可以用 pb_ds 里的哈希表。

接下来的哈希用于解决 判定性问题。
采用哈希的原因：常规方式难以判定。
方法：
- 我们找 充分条件或必要条件（不是充要条件） 来判定，使用哈希来简化问题。
- 通过随机和多次判定来降低错误概率。
- 可以从原命题或 [[原命题的否定]] 两方面考虑。
- 要 判断是否是某种情况，就要先选择哈希的方式（要有针对性），再得到这样哈希的话这种情况的值是多少或是什么情况，最后判断真实的哈希值是否满足条件。

哈希值表示整个集合。
\(h(S) = \sum _ { x \in S } h' ( x )\)。
- \(h'\)：对每个 \(x\) 赋一个随机值（相同的 \(x\) 赋的值相同）。
一个性质——判断集合中每个数的出现次数是否都是 \(k\) 的倍数（出现次数为 \(0\) 也可以）：
- 求和有对取模很友好的性质：如果一个数值的出现次数 \(\bmod k = 0\)，那么它的哈希值加起来 \(\bmod k\) 也为 \(0\)。如果每个数值的哈希值之和 \(\bmod k = 0\)，那么整个集合的哈希值（每个数的哈希值加起来，即每个数值的哈希值之和加起来）就也 \(\bmod k = 0\)。因此原命题能推出 Sum Hashing 的值 \(\bmod k = 0\)，那么后者就是前者的必要条件。
- 看 Sum Hashing 的值 \(\bmod k\) 是否为 \(0\)。
  - 如果不为 \(0\) 则说明集合中每个数的出现次数都是 \(k\) 的倍数 一定不成立。
  - 如果为 \(0\) 则说明 ~ 可能成立。
  - [蒙特卡罗判定]。
- 随机较多遍之后错误率就小到可以接受了。
- 题、错误率分析见：CF1746F Kazaee。

二进制 Xor Hashing [较常见]。
\(k\) 进制 Xor Hashing。
- 每一位分别相加，不进位，分别对 \(k\) 取模。
哈希值一般不表示整个集合，只表示每个元素出现次数 \(\bmod k\) 是否为 \(0\)。
- 如果集合中每个元素的出现次数都 \(\leq k\)，Xor Hashing 表示的就是整个集合。
本质：
- 把很多遍 取模的 Sum Hashing（就是上面写的 Sum Hashing 的“一个性质”部分）压到一起跑。因为每一位是独立的，每一位都相当于一次取模的 Sum Hashing。
错误率：
- 二进制 Xor Hashing 的话，在 [[int 或 long long]] 范围内随机，[一般] 这样跑一遍的错误率就刚好小到可以接受了。
相比 Sum Hashing 的优势：
- （二进制 Xor Hashing）二进制压缩，去掉了跑很多遍带的大概一只 \(\log\)。
- 异或性质优美，有时有妙用。（下面是二进制的，[更高的] 进制我不知道）
  - 重复直接消掉：
    - 树上简单路径的异或和：直接算到根的异或和，异或起来即可。
  - [异或线性基]。（我还不清楚正确率）（咕咕咕）

还不会呜呜呜。

咕咕咕。

以后来放题。

2024.11.13

标签：Sum,元素,笔记,学习,哈希,集合,bmod,Hashing
From： https://www.cnblogs.com/huangkxQwQ/p/18563050