文章目录
PN结二极管(1)
1、PN结二极管基本结构与工艺
PN结
-
PN结：p型半导体与n半导体紧密接触形成的冶金结。
-
P N PN PN结二级管：利用PN结实现单 向导电的两端功能器件。
-
PN结内部结构与载流子运动行为
P型和N型半导体的多子在接触后分别向对方扩散，分别留下固定的、带负电荷的电离受主和带正电荷的电离施主。
图中所示半导体内部两个净正电荷与净负电荷的区域被称为空间电荷区。该区域形成从正电荷区到负电荷区的内建电场，阻碍多子继续扩散。
在内建电场的作用下，电子和空穴被扫出空间电荷区，因此空间电荷区中不 存在可动电荷，所以空间电荷区也被称为耗尽区（耗尽层）
此时耗尽区保持电中性，电荷平衡， 无净电流，称为热平衡pn结。
-
制造二极管的几种工艺：合金法、扩散法、注入法等。
-
IC中的PN结：平面二极管工艺。
- 突变结：冶金结界面掺杂浓度突变的PN结
- 缓变结：冶金结界面掺杂浓度缓变的PN结
2、PN结耗尽区理论
- PN结能带结构的形成
PN结内建电势
电子从n区导带向p型区导带（空穴从p区价带到n区价带）运动时存在一 个势垒，被称为内建电势，定义 V b i V_{bi} Vbi。维持了n区多子和p区少子以及p区多子 和n区少子的动态平衡。
内建电势存在于空间电荷区，维持动态平衡，不产生净电流，无法通过外接伏特表测量。
- 内建电势公式求解
本征载流子费米能级随Ec和Ev变化，而内部平衡（本征载流子和非本征载流子之和）载流子费米能级保持恒定。
n区中
V
b
i
=
∣
ϕ
F
n
∣
+
∣
ϕ
F
p
∣
n
0
=
N
c
exp
[
−
(
E
c
−
E
F
)
k
T
]
=
n
i
exp
[
E
F
−
E
F
i
k
T
]
e
ϕ
F
n
=
E
F
i
−
E
F
n
0
=
n
i
exp
[
−
(
e
φ
F
n
)
k
T
]
n
0
=
N
d
ϕ
F
n
=
−
k
T
e
ln
(
N
d
n
i
)
V_{bi} = |\phi_{Fn}| + |\phi_{Fp}| \\ n_0 = N_c \exp\left[\frac{-(E_c - E_F)}{kT}\right]= n_i \exp\left[\frac{E_F - E_{Fi}}{kT}\right] \\ e \phi_{Fn} = E_{Fi} - E_F \\ n_0 = n_i \exp\left[\frac{-(e \varphi_{Fn})}{kT}\right] \quad n_0 = N_d \\ \phi_{Fn} = -\frac{kT}{e} \ln\left(\frac{N_d}{n_i}\right)
Vbi=∣ϕFn∣+∣ϕFp∣n0=Ncexp[kT−(Ec−EF)]=niexp[kTEF−EFi]eϕFn=EFi−EFn0=niexp[kT−(eφFn)]n0=NdϕFn=−ekTln(niNd)
同理，p区中
p
0
=
N
a
=
n
i
exp
[
E
F
i
−
E
F
k
T
]
e
ϕ
F
p
=
E
F
i
−
E
F
ϕ
F
p
=
k
T
e
ln
(
N
a
n
i
)
p_0 = N_a = n_i \exp\left[\frac{E_{Fi} - E_F}{kT}\right] \\ e \phi_{Fp} = E_{Fi} - E_F \\ \phi_{Fp} = \frac{kT}{e} \ln\left(\frac{N_a}{n_i}\right)\\
p0=Na=niexp[kTEFi−EF]eϕFp=EFi−EFϕFp=ekTln(niNa)
综合，则内建电势公式为
V
b
i
=
k
T
e
ln
(
N
a
N
d
n
i
2
)
=
V
t
ln
(
N
a
N
d
n
i
2
)
V_{bi} = \frac{kT}{e} \ln\left(\frac{N_a N_d}{n_i^2}\right) = V_t \ln\left(\frac{N_a N_d}{n_i^2}\right)
Vbi=ekTln(ni2NaNd)=Vtln(ni2NaNd)
其中Vt被称为热电压，或费米势,约等于0.026。Na，Nd为净掺杂浓度.
- 耗尽区电场强度
耗尽区电场强度也是内建电场强度。
耗尽区正负电荷分离，遵循电荷泊松方程：
d
2
ϕ
(
x
)
d
x
2
=
−
ρ
(
x
)
ε
s
=
−
d
E
(
x
)
d
x
\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_s} = -\frac{dE(x)}{dx}
dx2d2ϕ(x)=−εsρ(x)=−dxdE(x)
因为空间电荷区体电荷密度为
ρ
(
x
)
=
−
e
N
a
,
−
x
p
<
x
<
0
ρ
(
x
)
=
e
N
d
,
0
<
x
<
x
n
\rho(x) = -e N_a, \quad -x_p < x < 0 \\ \rho(x) = e N_d, \quad 0 < x < x_n
ρ(x)=−eNa,−xp<x<0ρ(x)=eNd,0<x<xn
所以p区
E
(
x
)
=
∫
ρ
(
x
)
ε
s
d
x
=
−
∫
e
N
a
ε
s
d
x
=
−
e
N
a
ε
s
x
+
C
1
E(x) = \int \frac{\rho(x)}{\varepsilon_s} \, dx = -\int \frac{e N_a}{\varepsilon_s} \, dx = -\frac{e N_a}{\varepsilon_s} x + C_1
E(x)=∫εsρ(x)dx=−∫εseNadx=−εseNax+C1
又热平衡时无电流流过，所以，
x
<
−
x
p
x<-x_p
x<−xp的电中性p区内的电场可认为为零；又因为电场连续， 设
x
=
−
x
p
x=-x_p
x=−xp处
E
=
0
E=0
E=0，则耗尽区p区内：
E
(
x
)
=
−
e
N
a
ε
s
(
x
+
x
p
)
,
−
x
p
≤
x
≤
0
E(x) = -\frac{e N_a}{\varepsilon_s} (x + x_p), \quad -x_p \leq x \leq 0 \\
E(x)=−εseNa(x+xp),−xp≤x≤0
同理，耗尽区n区内：
E
(
x
)
=
∫
e
N
d
ε
s
d
x
=
e
N
d
ε
s
x
+
C
2
E
(
x
)
=
−
e
N
d
ε
s
(
x
n
−
x
)
,
0
≤
x
≤
x
n
E(x) = \int \frac{e N_d}{\varepsilon_s} \, dx = \frac{e N_d}{\varepsilon_s} x + C_2 \\ E(x) = -\frac{e N_d}{\varepsilon_s} (x_n - x), \quad 0 \leq x \leq x_n
E(x)=∫εseNddx=εseNdx+C2E(x)=−εseNd(xn−x),0≤x≤xn
因为电场连续，联立上述两式，在冶金结处（x=0）：
N
a
x
p
=
N
d
x
n
N_ax_p=N_dx_n
Naxp=Ndxn
最大电场
E
max
=
−
e
N
d
x
n
ε
s
=
−
e
N
a
x
p
ε
s
,
(
x
=
0
)
E_{\text{max}} = -\frac{e N_d x_n}{\varepsilon_s} = -\frac{e N_a x_p}{\varepsilon_s}, \quad (x = 0)
Emax=−εseNdxn=−εseNaxp,(x=0)
- 耗尽区电势求解
从电场公式出发，p区
ϕ
(
x
)
=
−
∫
E
(
x
)
d
x
=
∫
e
N
a
ε
s
(
x
+
x
p
)
d
x
\phi(x) = -\int E(x) \, dx = \int \frac{e N_a}{\varepsilon_s} (x + x_p) \, dx
ϕ(x)=−∫E(x)dx=∫εseNa(x+xp)dx
因为相对电势差重要，设x=-xp处电势为零 （做为基准点），则在耗尽p区
ϕ
(
x
)
=
e
N
a
2
ε
s
(
x
+
x
p
)
2
,
(
−
x
p
≤
x
≤
0
)
\phi(x) = \frac{e N_a}{2 \varepsilon_s} (x + x_p)^2, \quad (-x_p \leq x \leq 0)
ϕ(x)=2εseNa(x+xp)2,(−xp≤x≤0)
同理，耗尽n区
ϕ
(
x
)
=
−
∫
E
(
x
)
d
x
=
∫
e
N
d
ε
s
(
x
n
−
x
)
d
x
\phi(x) = -\int E(x) \, dx = \int \frac{e N_d}{\varepsilon_s} (x_n - x) \, dx
ϕ(x)=−∫E(x)dx=∫εseNd(xn−x)dx
应用p区的边界条件，则
ϕ
(
x
)
=
e
N
d
ε
s
(
x
n
⋅
x
−
x
2
2
)
+
e
N
a
2
ε
s
x
p
2
,
(
0
≤
x
≤
x
n
)
\phi(x) = \frac{e N_d}{\varepsilon_s} \left(x_n \cdot x - \frac{x^2}{2}\right) + \frac{e N_a}{2 \varepsilon_s} x_p^2, \quad (0 \leq x \leq x_n)
ϕ(x)=εseNd(xn⋅x−2x2)+2εseNaxp2,(0≤x≤xn)
将两式综合，则PN结中电势与距离的关系如下图所示：
设P区中性区电势为零，则x=xn处的 电势为整个空间电荷区的电势差，也 就是内建电势差，且代入得出
V
b
i
=
∣
ϕ
(
x
=
x
n
)
∣
=
e
2
ε
s
(
N
d
x
n
2
+
N
a
x
p
2
)
V_{bi} = \left|\phi(x = x_n)\right| = \frac{e}{2 \varepsilon_s} \left(N_d x_n^2 + N_a x_p^2\right)
Vbi=∣ϕ(x=xn)∣=2εse(Ndxn2+Naxp2)
电场强度是距离的一次函数，因此，空间电 荷区的电子势能也是距离的二次函数。
- 耗尽区宽度求解
N a x p = N d x n ⇒ x p = N d x n N a x n = { 2 ε s V b i e [ N a N a + N d ] } 1 2 x p = { 2 ε s V b i e [ N d N a + N d ] } 1 2 W = x n + x p ⇒ W = { 2 ε s V b i e [ N a + N d N a N d ] } 1 2 N_a x_p = N_d x_n \quad \Rightarrow \quad x_p = \frac{N_d x_n}{N_a} \\ x_n = \left\{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{e} \left[\frac{N_a}{N_a + N_d}\right]\right\}^{\frac{1}{2}} \\ x_p = \left\{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{e} \left[\frac{N_d}{N_a + N_d}\right]\right\}^{\frac{1}{2}} \\ W = x_n + x_p \quad \Rightarrow \quad W = \left\{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{e} \left[\frac{N_a + N_d}{N_a N_d}\right]\right\}^{\frac{1}{2}} Naxp=Ndxn⇒xp=NaNdxnxn={e2εsVbi[Na+NdNa]}21xp={e2εsVbi[Na+NdNd]}21W=xn+xp⇒W={e2εsVbi[NaNdNa+Nd]}21
PN结中p区和n区的耗尽区宽度与掺杂浓度成反比，浓度越高，宽度越小；当p区或n区掺 杂浓度较高时，耗尽区宽度主要由相对的低掺杂区宽度决定
- 耗尽区一些有用公式
W D p = x p , W D n = x n ∣ E m ∣ = q N d W D n ε s = q N a W D p ε s ϕ p = q N a W D p 2 2 ε s ∣ ϕ n ∣ = q N d W D n 2 2 ε s V b i = ϕ p + ∣ ϕ n ∣ = ϕ ( W D n ) = ∣ E m ∣ 2 ( W D p + W D n ) ∣ E m ∣ = 2 q N a ϕ p ε s = 2 q N d ∣ ϕ n ∣ ε s V b i = k T q ln ( p p 0 p n 0 ) = k T q ln ( n n 0 n p 0 ) ∣ E m ∣ = − 2 V b i W （最大电场是内建平场的2倍） W D p = 2 ε s V b i q N d N a ( N a + N d ) W D n = 2 ε s V b i q N a N d ( N a + N d ) W D = W D p + W D n = 2 ε s V b i q N a + N d N a N d W_{Dp} = x_p, \quad W_{Dn} = x_n \\ |E_m| = \frac{q N_d W_{Dn}}{\varepsilon_s} = \frac{q N_a W_{Dp}}{\varepsilon_s} \\ \phi_p = \frac{q N_a W_{Dp}^2}{2 \varepsilon_s} \\ |\phi_n| = \frac{q N_d W_{Dn}^2}{2 \varepsilon_s} \\ V_{bi} = \phi_p + |\phi_n| = \phi(W_{Dn}) = \frac{|E_m|}{2} (W_{Dp} + W_{Dn}) \\ |E_m| = \sqrt{\frac{2 q N_a \phi_p}{\varepsilon_s}} = \sqrt{\frac{2 q N_d |\phi_n|}{\varepsilon_s}}\\ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{p_{p0}}{p_{n0}}\right) = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{n_{n0}}{n_{p0}}\right) \\ |E_m| = -\frac{2 V_{bi}}{W} \quad \text{（最大电场是内建平场的2倍）} \\ W_{Dp} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{q} \frac{N_d}{N_a (N_a + N_d)}} \\ W_{Dn} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{q} \frac{N_a}{N_d (N_a + N_d)}} \\ W_D = W_{Dp} + W_{Dn} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{q} \frac{N_a + N_d}{N_a N_d}} WDp=xp,WDn=xn∣Em∣=εsqNdWDn=εsqNaWDpϕp=2εsqNaWDp2∣ϕn∣=2εsqNdWDn2Vbi=ϕp+∣ϕn∣=ϕ(WDn)=2∣Em∣(WDp+WDn)∣Em∣=εs2qNaϕp =εs2qNd∣ϕn∣ Vbi=qkTln(pn0pp0)=qkTln(np0nn0)∣Em∣=−W2Vbi（最大电场是内建平场的2倍）WDp=q2εsVbiNa(Na+Nd)Nd WDn=q2εsVbiNd(Na+Nd)Na WD=WDp+WDn=q2εsVbiNaNdNa+Nd
- 耗尽层近似
耗尽层有确定的边界，分别记为-xp和xn（取冶金结处为坐标原点x=0），耗尽层宽度W0=(xn+xp)；
耗尽层内n=p=0，耗尽层范围外载流子维持原来浓度不变。
- 耗尽区宽度修正
前面计算忽略了多数载流子的影响， 若考虑进去，则耗尽区电荷密度修正为
p区电荷
ρ
≈
−
q
[
N
A
−
p
(
x
)
]
\rho \approx -q \left[N_A - p(x)\right] \\
ρ≈−q[NA−p(x)]
n区电荷
ρ
≈
q
[
N
D
−
n
(
x
)
]
\rho \approx q \left[N_D - n(x)\right]
ρ≈q[ND−n(x)]
代入泊松方程求解得
W
=
{
2
ε
s
(
V
b
i
−
2
k
T
e
)
e
[
N
a
+
N
d
N
a
N
d
]
}
1
2
W = \left\{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi}-\frac{2kT}{e})}{e} \left[\frac{N_a + N_d}{N_a N_d}\right]\right\}^{\frac{1}{2}}
W={e2εs(Vbi−e2kT)[NaNdNa+Nd]}21
相当于耗尽区宽度公式中用Vbi减去两个热学势取代Vbi项，其他不变。引起耗尽区宽度变小。
对耗尽区的影响如图所示
在耗尽区边缘存在两个多数载流子影响分布的 带尾，导致耗尽区宽度变窄。
PN结偏置
PN结工作时外接不同的偏置电 压，对其耗尽区宽度、内建电势 及电流-电压工作特性产生重要的影响。
- PN结能带图平衡条件电流为0（电子流动为例）
n区导带电子浓度高于p区，但是由于内建电势，n区导带电子能量低于p区导带电子能量，不能形成电子净流动，电流为0。
- 正偏电流形成过程
边界积累的少子浓度随正偏电压Va的增加指数增加，导致正偏电流指数增加。
正偏电压增加，势垒高度降低。n区中能量高于p区导带电子能量的电子急剧增加，导致n区注入到p区电子流急剧增加，正向电流快速增大。
PN结施加正偏电压时，内部空间电荷区势垒 降低、内建电场减弱，p区多子（空穴）越过 势垒流向n区, n区多子（电子）越过势垒流向p区,分别形成n区非平衡少子（空穴）和p区非平 衡少子（电子），遵循非平衡载流子的漂移扩散输运和复合规律。
- 反偏电流形成过程
边界少子浓度趋于0，体内少子浓度很低，浓度梯度很小，反向电流很小。
反偏电压绝对值更大，势垒区宽度增加，少子扩散电流基本不变，形成反向“饱和电流”。
反偏电压绝对值增加，势垒高度增高，p区导带中能量高于n区导带电子能量的电子数并不随之增加，p区到达n区电子流不变，反向电流呈现饱和状态。
PN结施加外偏压时不再处于热平衡状态；此时，内部平衡载流子统一费米能 级分裂；在反偏时，n区费米能级Efn要 低于p区费米能级Efp：
用
V
b
i
+
V
R
V_{bi}+V_R
Vbi+VR取代
V
b
i
V_{bi}
Vbi代入前式，则
W
=
{
2
ε
s
(
V
b
i
+
V
R
)
e
N
a
+
N
d
N
a
N
d
}
1
2
E
max
=
{
2
e
(
V
b
i
+
V
R
)
ε
s
N
a
N
d
N
a
+
N
d
}
1
2
E
max
=
−
2
(
V
b
i
+
V
R
)
W
W = \left\{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} + V_R)}{e} \frac{N_a + N_d}{N_a N_d}\right\}^{\frac{1}{2}} \\ E_{\text{max}} = \left\{\frac{2 e (V_{bi} + V_R)}{\varepsilon_s} \frac{N_a N_d}{N_a + N_d}\right\}^{\frac{1}{2}} \\ E_{\text{max}} = -\frac{2 (V_{bi} + V_R)}{W}
W={e2εs(Vbi+VR)NaNdNa+Nd}21Emax={εs2e(Vbi+VR)Na+NdNaNd}21Emax=−W2(Vbi+VR)
PN结中由于p区和n区是电中性的，因此反偏 状态下，空间电荷区内的电场会比不外加偏置 时的电场更强。这个电场开始于正电荷区，终 止于负电荷区，因此也就是说随着电场增强， 正负电荷的数量也要增加。
在给定的掺杂浓度下，为了使得空间电荷区的正负电荷数量增加，就必须要增大空间电荷区的宽度W。
因此可以得出结论：空间电荷区会随着反偏电压VR的增加而展宽。
值得指出此时假设了p区和n区中性区场为0， 这个假设会在之后的pn结非平衡载流子输运中得到进一步的验证和说明。
势垒（耗尽层）电容
- PN结势垒电容的产生
PN结耗尽区中冶金结两侧电荷分离，施加外偏压时，电荷充放电产生电容效应， 该电容被称为势垒电容；假设PN结冶金结两侧为均匀的箱式掺杂，则：
C
′
=
d
Q
′
d
V
R
d
Q
′
=
e
N
d
d
x
n
=
e
N
a
d
x
p
C
′
=
d
Q
′
d
V
R
=
e
N
d
d
x
n
d
V
R
x
n
=
{
2
ε
s
(
V
b
i
+
V
R
)
e
[
N
a
N
d
]
(
1
N
a
+
N
d
)
}
1
2
C
′
=
{
ε
s
N
a
N
d
2
(
V
b
i
+
V
R
)
(
N
a
+
N
d
)
}
1
2
对于耗尽层宽度
W
,
C
′
=
ε
s
W
C' = \frac{dQ'}{dV_R} \quad \\ dQ' = e N_d \, dx_n = e N_a \, dx_p \\ C' = \frac{dQ'}{dV_R} = e N_d \, \frac{dx_n}{dV_R} \\ x_n = \left\{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} + V_R)}{e} \left[\frac{N_a}{N_d}\right] \left(\frac{1}{N_a + N_d}\right)\right\}^{\frac{1}{2}} \\ C' = \left\{\frac{\varepsilon_s N_a N_d}{2 (V_{bi} + V_R) (N_a + N_d)}\right\}^{\frac{1}{2}} \\ \text{对于耗尽层宽度 } W, \quad C' = \frac{\varepsilon_s}{W}
C′=dVRdQ′dQ′=eNddxn=eNadxpC′=dVRdQ′=eNddVRdxnxn={e2εs(Vbi+VR)[NdNa](Na+Nd1)}21C′={2(Vbi+VR)(Na+Nd)εsNaNd}21对于耗尽层宽度 W,C′=Wεs
与平板电容公式完全类似，可认为是以耗尽层为隔离 介质的平板电容，与偏压相关
- 任意掺杂PN结势垒电容求解
若PN结冶金结附近是任意形状的非均匀掺杂（此例只考虑p+n结n型的一侧），此结处的净电势变化可由对整个耗尽区的电场积分得到
φ
n
=
φ
n
0
−
V
=
−
∫
0
W
D
E
(
x
)
d
x
=
−
x
E
(
x
)
∣
0
W
D
+
∫
E
(
0
)
E
(
W
D
)
x
d
E
\varphi_n = \varphi_{n0} - V = -\int_{0}^{W_D} E(x) \, dx \\ = -x E(x) \Big|_{0}^{W_D} + \int_{E(0)}^{E(W_D)} x \, dE
φn=φn0−V=−∫0WDE(x)dx=−xE(x)
0WD+∫E(0)E(WD)xdE
由于耗尽区边界E(WD)=0，所以
ϕ
n
=
∫
E
(
0
)
E
(
W
D
)
x
d
E
d
x
d
x
=
q
ε
s
∫
0
W
D
x
N
D
(
x
)
d
x
Q
D
=
q
∫
0
W
D
N
D
(
x
)
d
x
d
V
d
W
D
=
−
d
φ
n
d
W
D
=
−
q
N
D
(
W
D
)
W
D
ε
s
d
Q
D
d
W
D
=
q
N
D
(
W
D
)
C
D
=
∣
d
Q
D
d
V
∣
=
∣
d
Q
D
d
W
D
⋅
d
W
D
d
V
∣
=
ε
s
W
D
\phi_n = \int_{E(0)}^{E(W_D)} x \frac{dE}{dx} \, dx = \frac{q}{\varepsilon_s} \int_{0}^{W_D} x N_D(x) \, dx\\ Q_D = q \int_{0}^{W_D} N_D(x) \, dx\\ \frac{dV}{dW_D} = -\frac{d\varphi_n}{dW_D} = -\frac{q N_D(W_D) W_D}{\varepsilon_s} \\ \frac{dQ_D}{dW_D} = q N_D(W_D) \\ \quad C_D = \left|\frac{dQ_D}{dV}\right| = \left|\frac{dQ_D}{dW_D} \cdot \frac{dW_D}{dV}\right| = \frac{\varepsilon_s}{W_D}
ϕn=∫E(0)E(WD)xdxdEdx=εsq∫0WDxND(x)dxQD=q∫0WDND(x)dxdWDdV=−dWDdφn=−εsqND(WD)WDdWDdQD=qND(WD)CD=
dVdQD
=
dWDdQD⋅dVdWD
=WDεs
进一步说明了耗尽层电容可以认为是以耗尽 层为隔离介质的平板电容；此结论对于任意掺杂形状的PN结都成立（对杂质掺杂变化不敏感）；势垒电容也称为结电容。
单边突变结
-
单边突变结：一边为高浓度浅掺杂 的特殊PN突变结
-
以p±n单边突变结为例，Na>>Nd， 则相关特性可以简化为
零偏时耗尽区宽度表示简化为
W
D
≈
W
D
n
≈
2
ε
s
V
b
i
q
N
D
W_D \approx W_{Dn} \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s V_{bi}}{q N_D}} \\
WD≈WDn≈qND2εsVbi
此时电势变化则为
ϕ
(
x
)
=
q
N
D
ε
s
(
W
D
⋅
x
−
x
2
2
)
=
E
max
(
W
D
⋅
x
−
x
2
2
)
\phi(x) = \frac{q N_D}{\varepsilon_s} \left(W_D \cdot x - \frac{x^2}{2}\right) = E_{\text{max}} \left(W_D \cdot x - \frac{x^2}{2}\right) \\
ϕ(x)=εsqND(WD⋅x−2x2)=Emax(WD⋅x−2x2)
内建电势表达简化为
V
b
i
≈
ϕ
n
=
q
N
D
W
D
2
2
ε
s
=
−
k
T
q
ln
(
N
D
n
i
)
V_{bi} \approx \phi_n = \frac{q N_D W_D^2}{2 \varepsilon_s} = -\frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_D}{n_i}\right) \\
Vbi≈ϕn=2εsqNDWD2=−qkTln(niND)
同样的，反偏时内建电势则为
W
≈
W
D
n
≈
2
ε
s
(
V
b
i
+
V
R
)
q
N
D
\quad W \approx W_{Dn} \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s (V_{bi} + V_R)}{q N_D}}
W≈WDn≈qND2εs(Vbi+VR)
耗尽电容求解与应用
C
′
≈
{
q
ε
s
N
d
2
(
V
b
i
+
V
R
)
}
1
2
(
1
C
′
)
2
=
2
(
V
b
i
+
V
R
)
q
ε
s
N
d
C' \approx \left\{\frac{q \varepsilon_s N_d}{2 (V_{bi} + V_R)}\right\}^{\frac{1}{2}} \\ \left(\frac{1}{C'}\right)^2 = \frac{2 (V_{bi} + V_R)}{q \varepsilon_s N_d}
C′≈{2(Vbi+VR)qεsNd}21(C′1)2=qεsNd2(Vbi+VR)
有如下关系
此时，势垒电容倒数的平方与偏压成线性关系， 由此可以通过实验测量PN结内建电势和掺杂浓度。
- 浓度梯度效应修正
前面可知PN结内建电势和电容-电压特性对 于耗尽区中杂质任意分布变化不敏感；但是， 其前提是，PN结耗尽区中杂质浓度变化的梯度要小于LD时（WD>LD）
当杂质变化梯度大于LD，也就是耗尽区宽度小于LD时（WD<LD)泊松方程需要修正。
设耗尽区中，微小的掺杂浓度变化为 ΔND，则微小电势变化所引起的微小载流子浓度变化为
n
=
N
D
exp
(
Δ
ϕ
i
q
k
T
)
n = N_D \exp\left(\frac{\Delta \phi_i q}{kT}\right)
n=NDexp(kTΔϕiq)
代入泊松方程，则得出耗尽区中微小电势变化的极限概念
d
2
Δ
ϕ
d
x
2
=
−
q
ε
s
(
N
D
+
Δ
N
D
−
n
)
=
−
q
N
D
ε
s
(
1
+
Δ
N
D
N
D
−
exp
(
Δ
ϕ
i
q
k
T
)
)
≈
q
2
N
D
ε
s
k
T
Δ
ϕ
i
=
Δ
ϕ
i
L
D
2
\frac{d^2 \Delta \phi}{dx^2} = -\frac{q}{\varepsilon_s} \left(N_D + \Delta N_D - n\right) = -\frac{q N_D}{\varepsilon_s} \left(1 + \frac{\Delta N_D}{N_D} - \exp\left(\frac{\Delta \phi_i q}{kT}\right)\right) \approx \frac{q^2 N_D}{\varepsilon_s kT} \Delta \phi_i = \frac{\Delta \phi_i}{L_D^2}
dx2d2Δϕ=−εsq(ND+ΔND−n)=−εsqND(1+NDΔND−exp(kTΔϕiq))≈εskTq2NDΔϕi=LD2Δϕi
受到LD的限制，所以PN结耗尽区中杂质浓度的德拜长度给出了 杂质分布突变时内建电势变化极限的概念。
德拜长度是半导体的特征长度，定义如下：
L
D
≡
ε
s
k
T
q
2
N
L_D \equiv \sqrt{\frac{\varepsilon_s kT}{q^2 N}}
LD≡q2NεskT
热平衡时，Si与GaAs的PN突变结耗尽区宽 度一般是LD的8-10倍，不需要修正。
- 小结
线性缓变结
- 线性缓变结特性
线性缓变结是耗尽区中掺杂浓度梯度为常数的特殊缓变结
a为浓度梯度常数。冶金结x=0处电场最大；x=x0和x=-x0处电场近似为零。
ρ
(
x
)
=
e
a
x
d
E
(
x
)
d
x
=
ρ
(
x
)
ε
s
=
e
a
x
ε
s
E
(
x
)
=
∫
e
a
x
ε
s
d
x
=
e
a
2
ε
s
(
x
2
−
x
0
2
)
ϕ
(
x
)
=
−
∫
E
(
x
)
d
x
ϕ
(
x
)
=
−
e
a
2
ε
s
(
x
3
3
−
x
0
2
x
)
+
e
a
3
ε
s
x
0
3
ϕ
(
x
0
)
=
2
3
⋅
e
a
x
0
3
ε
s
=
V
b
i
V
b
i
=
V
t
ln
[
N
d
(
x
0
)
N
a
(
−
x
0
)
n
i
2
]
N
d
(
x
0
)
=
a
x
0
,
N
a
(
−
x
0
)
=
a
x
0
V
b
i
=
V
t
ln
(
a
x
0
n
i
)
2
x
0
=
{
3
⋅
ε
s
2
⋅
e
a
(
V
b
i
+
V
R
)
}
1
3
=
1
2
W
D
C
′
=
{
e
a
ε
s
2
12
(
V
b
i
+
V
R
)
}
1
3
\rho(x) = ea x \\ \frac{dE(x)}{dx} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon_s} = \frac{ea x}{\varepsilon_s} \\ E(x) = \int \frac{ea x}{\varepsilon_s} \, dx = \frac{ea}{2 \varepsilon_s} \left(x^2 - x_0^2\right) \\ \phi(x) = -\int E(x) \, dx\\ \phi(x) = -\frac{ea}{2 \varepsilon_s} \left(\frac{x^3}{3} - x_0^2 x\right) + \frac{ea}{3 \varepsilon_s} x_0^3 \\ \phi(x_0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{ea x_0^3}{\varepsilon_s} = V_{bi} \\ V_{bi} = V_t \ln \left[\frac{N_d(x_0) N_a(-x_0)}{n_i^2}\right] \\ N_d(x_0) = a x_0, \quad N_a(-x_0) = a x_0 \\ V_{bi} = V_t \ln \left(\frac{a x_0}{n_i}\right)^2 \\ \quad x_0 = \left\{\frac{3 \cdot \varepsilon_s}{2 \cdot ea} (V_{bi} + V_R)\right\}^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} W_D \\ C' = \left\{\frac{ea \varepsilon_s^2}{12 (V_{bi} + V_R)}\right\}^{\frac{1}{3}}
ρ(x)=eaxdxdE(x)=εsρ(x)=εseaxE(x)=∫εseaxdx=2εsea(x2−x02)ϕ(x)=−∫E(x)dxϕ(x)=−2εsea(3x3−x02x)+3εseax03ϕ(x0)=32⋅εseax03=VbiVbi=Vtln[ni2Nd(x0)Na(−x0)]Nd(x0)=ax0,Na(−x0)=ax0Vbi=Vtln(niax0)2x0={2⋅ea3⋅εs(Vbi+VR)}31=21WDC′={12(Vbi+VR)eaεs2}31
电容倒数的立方与偏压成线性关系，表明对偏压更不敏感。
- 小结
