三大分布密度函数推导

• 三大分布密度函数推导
• 第六节\(\chi^{2}\)分布、t分布和F分布密度的推导
• 一、\(\chi^{2}\)分布密度的推导
• 二、t分布密度的推导
• 三、F分布密度的推导

三大分布密度函数推导

下面方程的解\(\sum_{j=v}^{n} C_{n}^{i} \underline{p}'(1-\underline{p})^{n-1}=\alpha / 2\)，\(\sum_{j=0}^{\infty} C_{n}' \overline{p}'(1-\overline{p})^{n-i}=\alpha / 2\)，其中r为实际观察值，可以指出\(p=r\left[(n-r+1) F_{2(n-r+1), 2 r}(\alpha / 2)+r\right]^{-1} \quad(3.51)\)，\(\overline{p}= (r+1) F_{2(r+1), 2(n-r)}(\alpha / 2)[n-r+(r+1) F_{2(r+1), 2(n-r)}(\alpha / 2)]^{-1}. \quad(3.52)\)。

例3.16从某批产品中随机地抽了20个样品，发现其中有6个是次品，求这批产品其次品率的区间估计\((\alpha=10 \%)\)。解由公式(3.51)和(3.52)得\(\underline{p}=6\left[(20-6+1) F_{30,12}(0.05)+6\right]^{-1}=0.139\)，\(\overline{p} =(6+1) F_{14,28}(0.05)\left[20-6+(6+1) F_{14,28}(0.05)\right]^{-1}=0.507\)，次品率p的区间估计为(0.139,0.507)。

第六节\(\chi^{2}\)分布、t分布和F分布密度的推导

前三节我们已分别介绍了\(\chi^{2}\)分布、t分布和F分布的定义、性质和应用，但是没有导出它们的分布密度，因为在推导过程中需要用到较多的数学知识，对于许多实际工作者，不一定需要花许多时间来弄清它们密度的来源，故我们把这部分内容抽出来单独辟为一节，没有兴趣的同志可以跳过此节。

一、\(\chi^{2}\)分布密度的推导

令\(Y_{1}, \cdots, Y_{n}\)，独立同分布，且\(Y,\)服从标准正态分布\(N(0,1)\)，由定义3.3，\(X=Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2} \sim \chi_{n}^{2}\)。运用例1.18中使用的典型手法，令\(h(x)\)为任一非负函数，使得\(h(X)\)为一随机变量，则\(E[h(X)]=\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} h\left(y_{1}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)^{n} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}\right)} d y_{1} \cdots d y_{n}\)。作多维球坐标变换：
\(\begin{cases}y_{1}=r \cos \theta_{1} \\ y_{2}=r \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \\ y_{3}=r \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \cos \theta_{3} & 0 \leq r<\infty \\ \cdots \cdots & 0 \leq \theta_{i} \leq \pi, i=1, \cdots, n-2 \\ y_{n-1}=r \sin \theta_{1} \cdots \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1} & 0 \leq \theta_{n-1} \leq 2 \pi \\ y_{n}=r \sin \theta_{1} \cdots \sin \theta_{n-2} \sin \theta_{n-1} \end{cases}\)。

为了求这个变换的雅可比行列式，直接按定义计算并非是轻而易举之事。求这个行列式有三种计算方法：一种是微积分学教程第三卷第二分册(人民教育出版社，1964，第411 - 412页)介绍的方法，技巧性较高；另一种方法是对n用归纳法来求，方法简单；第三种方法是用矩阵微商的方法，把n个变元之间的雅可比行列式化为n个一元函数之雅可比的乘积(见“多元分析资料汇编”，中国科学院应用数学研究所概率统计咨询服务部，1983，第105页)，鉴于本书的性质，这里不准备给出证明。变换的雅可比行列式为\(J=r^{n-1} \sin ^{n-2} \theta_{1} \sin ^{n-3} \theta_{2} \cdots \sin ^{2} \theta_{n-3} \sin \theta_{n-2} \quad(3.54)\)。

其实，我们可以避开直接求(3.54)的矛盾，由定义有\(J=\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial r} & \frac{\partial y_{1}}{\partial \theta_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial \theta_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial y_{n}}{\partial r} & \frac{\partial y_{n}}{\partial \theta_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{n}}{\partial \theta_{n-1}}\end{array}\right|_{+}=r^{n-1} c\)，因为其中从第二列开始直至最后一列，每列均可提出一个因子r，将r提出后剩余部分仅与\(\theta_{1}, \cdots \theta_{n-1}\)有关，记成c，由此\(E[h(X)]=\int_{0}^{\infty} d r \int_{0}^{\pi} \cdots \int_{0}^{\pi} d \theta_{1} \cdots d \theta_{n-2} \int_{0}^{2 \pi} h\left(r^{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)^{n} \cdot e^{-\frac{1}{2} r^{2}} r^{n-1} c d \theta_{n-1}=c' \int_{0}^{\infty} h\left(r^{2}\right) r^{n-1} e^{-\frac{1}{2} r^{2}} d r \quad\left(c'\right.\)为常数\()=c'' \int_{0}^{\infty} h(u) u^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} u} d u \quad\left(c''\right.\)为常数\()\)，故X的分布密度为。

为了求\(c''\)，应有\(c'' x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} x}\)，\(1 =c'' \int_{0}^{\infty} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} x} d x \quad(=c'' 2^{n / 2} \int_{0}^{\infty} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-y} d y=c'' 2^{n / 2} \Gamma(n / 2)\)，即\(c''=(2^{n / 2} \Gamma(n / 2))^{-1}\)，这就证明了(3.20)式。

推导(3.20)式还可以直接用归纳法，主要利用以下几件事实：
(1)由例1.18知\(\chi^{2}\)的分布密度为\(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x^{-1 / 2} e^{-x / 2}\)；
(2)若随机变量X和Y独立，各有分布密度\(f_{1}(x)\)和\(f_{2}(y)\)，则\(Z=X+Y\)有分布密度\(f(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(z-x) f_{2}(x) d x\)；
(3)利用上面两个事实对n作归纳法便可导出(3.20)式，其中用到贝塔函数的简单性质。

有兴趣的读者可以去试试看，此外，在文献[22]第九章还给出了\(\chi^{2}\)分布的其它推导法。

二、t分布密度的推导

设\(X \sim N(0,1)\)与\(Y \sim \chi_{n}^{2}\)独立，则随机变量\(T=\frac{\sqrt{n} X}{\sqrt{Y}}\)的分布是具有n个自由度的t分布。由假设条件可知X和Y的联合分布密度是\(C_{n} e^{-x^{2} / 2} e^{-y / 2} y^{n / 2-1}\)，其中\(C_{n}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} 2^{n / 2} \Gamma(n / 2)}\)。令\(h(t)\)为任一非负函数使得\(h(T)\)为一随机变量，于是\(E[h(T)]=C_{n} \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{0}^{\infty} h(\frac{\sqrt{n} x}{\sqrt{y}}) e^{-x^{2} / 2} e^{-y / 2} y^{n / 2-1} d y\)。

作变换\(\left\{\begin{array} { l = \sqrt { n x } / \sqrt { y } \\ y = y \end{array} \quad\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{y} t / \sqrt{n} \\ y=y\end{array}\right.\)，则变换的雅可比行列式是\(J=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial y} \\ \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial y}\end{array}\right|_{+}=\left|\begin{array}{cc} \sqrt{y} / \sqrt{n} & \frac{1}{2} t y^{-1 / 2} / \sqrt{n} \\ 0 & 1 \end{array}\right|_{+}=\sqrt{y / n}\)，代入得\(E[h(T)]=C_{n} \int_{-\infty}^{\infty} h(t) d t \int_{0}^{\infty} e^{-y t^{2} / 2 n} e^{-y / 2} y^{n / 2-1} \sqrt{y / n} d y\)。上式右端第二重积分是\((1 / \sqrt{n})\)乘以\(\int_{0}^{\infty} y^{(n-1) / 2} e^{-\frac{y}{2}\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)} d y \quad\left(\& \leftrightarrow z=\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right) y\right)=\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-(n-1) / 2} z^{(n-1) / 2} e^{-z / 2}\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-1} d z=\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-(n+1) / 2} \int_{0}^{\infty} z^{(n+1) / 2-1} e^{-z / 2} d z=\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-(n+1) / 2} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) 2^{(n+1) / 2}\)。

上面最后一步利用了积分号内的函数是\(\chi^{2}_{n+1}\)的分布密度(差一个常数)，将结果代入到(3.55)中去，得\(E[h(T)]=C_{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) 2^{(n+1) / 2} \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \cdot\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-(n+1) / 2} d t=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n \pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \int_{-\infty}^{\infty} h(t)\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-(n+1) / 2} d t\)，这就证明了(3,32)式。

三、F分布密度的推导

设\(X \sim \chi_{m}^{2}\)与\(Y \sim \chi_{n}^{2}\)独立，则\(F=\frac{(n / m)(X / Y)}\)的分布是自由度为m和n的F分布，由假设条件知X和Y的联合密度为\(C_{m, n} x^{\frac{m}{2}-1} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(x+y)}\)，其中\(C_{m, n}^{-1}=2^{(n+m) / 2} \Gamma(m / 2) \Gamma(n / 2)\)。令\(h(f)\)为任一非负函数使得\(h(F)\)为随机变量，于是\(E[h(F)]=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} h\left(\frac{n}{m} \frac{x}{y}\right) C_{m, n} x^{m / 2-1} y^{n / 2-1} e^{-(x+y) / 2} d x d y\)。

作变换\(\left\{\begin{array}{l}f=\frac{n}{m} \frac{x}{y} \\ y=y\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{n} f y \\ y=y\end{array}\right.\)，则变换的雅可比行列式为\((m / n) y\)，于是\(E[h(F)]=C_{m, n} \int_{0}^{\infty} h(f) d f \int_{0}^{\infty}\left(\frac{m}{n} f y\right)^{m / 2-1} y^{n / 2-1} \cdot e^{-\frac{y}{2}\left(1+\frac{m}{n} f\right)}\left(\frac{m}{n} y\right) d y=C_{m, n}\left(\frac{m}{n}\right)^{m / 2} \int_{0}^{\infty} h(f) f^{m / 2-1} \int_{0}^{\infty} y^{(m+n) / 2-1} \cdot e^{-\frac{y}{2}\left(1+\frac{m}{n} f\right)} d y\)。

令\(z=(1+\frac{m}{n} f) y\)，上式右边第二重积分为\(\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{m}{n} f\right)^{-(m+n) / 2} z^{(m+n) / 2-1} e^{-z / 2} d z=\left(1+\frac{m}{n} f\right)^{-(m+n) / 2} \Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right) 2^{(m+n) / 2}\)，因此\(E[h(F)]=\frac{1}{B\left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)}\left(\frac{m}{n}\right)^{m / 2} \int_{0}^{\infty} h(t) f^{m / 2-1} \cdot\left(1+\frac{m}{n} f\right)^{-(m+n) / 2} d f\)，这就证明了(3.38)式。