什么是初积分

在学习《高等动力学》时碰到一个概念“初积分”，为了方便记忆，在这里做个笔记。

1 定义

在常微分方程理论中，初积分是指对于一个给定的常微分方程组，如果存在一个可微函数，使得沿方程组的任何解，函数的值保持常数，即，那么函数就称为这个常微分方程的一个初积分。

• 例如，对于简单的平面自治系统，函数是一个初积分。因为。

2 在物理中的意义(以力学为例)

在哈密顿力学系统中，初积分具有重要的物理意义。哈密顿函数(其中是广义坐标，是广义动量)，如果不显式地依赖于时间，那么能量是一个初积分。

• 比如一个单摆系统，其哈密顿量(其中p是动量，m是质量，g是动力加速度，是摆长，是摆角)，在没有摩擦力等非保守力的情况下，是一个常数，这个常数对应的物理量就是单摆的总机械能，它是系统的一个初积分。

3 与解常微分方程的关系

初积分可以用来降低常微分方程组的阶数。如果找到了个独立的初积分，那么原来n阶常微分方程组可以简化为一个(n-k)阶的方程组。

• 例如，对于一个三阶常微分方程组，如果找到了一个初积分，就可以将其转化为一个二阶常微分方程组，这在求解过程中会降低一定的难度。
• 对于方程,可以发现初积分,因为，由可得，这样就把二阶方程转化为一阶方程，方便后续求解。