§4.4 随机向量的数字特征
一、二维随机变量函数的数学期望
定理：
设\((X,Y)\)是二维离散型随机变量，其分布律为\(P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\)，\(i,j=1,2,\cdots\)，\(Z=g(X,Y)\)是\((X,Y)\)的函数，则：
\(二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为f(x, y), 则Z=g(X, Y)的数学期望\)
\[E(Z)=\iint_{-\infty}^{+\infty} g(x,y)f(x,y)dxdy \]$定理4.9（数学期望性质的推广）设随机变量X_1, X_2, ⋯, X_n, $
1）若\(Y=\sum_{i=1}^n k_iX_i+c\), 其中\(k_i(i=1, 2, \cdots, n)\), c是常数, 则
\[E(Y)=\sum_{i=1}^n k_iE(X_i)+c \]特别地, \(E(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n E(X_i)\)；
（2）当随机变量\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)相互独立时,
\[E(X_1X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n) \]定理4.10（方差性质的推广）设X, Y是随机变量, 则
1）\(Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\pm 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)；
2）\(当X与Y相互独立时, Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\).
一般地, 若随机变量\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)相互独立, 则\(Var(\sum_{i=1}^n X_i)=\sum_{i=1}^n Var(X_i)\)
二、协方差及相关系数
定义（协方差）：
设\((X,Y)\)是二维随机变量，称
为随机变量\(X\)和\(Y\)的协方差。
定理：
\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \]性质：
- \(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)
- \(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)，其中\(a\)和\(b\)是常数
- \(Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\)
- \(Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\pm 2Cov(X,Y)\)
\(更一般地, 设a, b, c是任意常数, 则 Var(aX\pm bY+c)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)\pm 2abCov(X, Y)\)； - 若\(X\)和\(Y\)独立，则\(Cov(X,Y)=0\)
定义（相关系数）：
设\((X,Y)\)是二维随机变量，且\(Var(X)>0\)，\(Var(Y)>0\)，则称
为随机变量\(X\)和\(Y\)的相关系数。
性质：
- \(|Corr_{XY}|\leq 1\)
- \(|Corr_{XY}|=1\)的充要条件是\(X\)和\(Y\)以概率1线性相关，即存在常数\(a\neq 0\)和\(b\)，使得\[P\{Y=aX+b\}=1 \]
定理：
\(若随机变量X与Y相互独立, 且Cov(X, Y)存在时, 则X与Y不相关,
反之则不然.\)
\(该定理的逆否命题成立, 即若X与Y相关, 则X与Y一定不独立.\)
定理4.14
\(设(X, Y)服从二维正态分布N(μ_1, μ_2, σ_1^2, σ_2^2, ρ), 则ρ=Corr(X, Y).\)
三、期望向量、协方差矩阵、多维正态分布
定义（期望向量）：
设\(n\)维随机向量\(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T\)，若\(E(X_i)\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）都存在，则称向量
为随机向量\(\mathbf{X}\)的数学期望或期望向量。
定义（协方差矩阵）：
设\(n\)维随机向量\(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T\)，\(Cov(X_i,X_j)\)（\(i,j=1,2,\cdots,n\)）存在，则称矩阵
为随机向量\(\mathbf{X}\)的协方差矩阵，记为\(Cov(\mathbf{X})\)或\(\mathbf{\Sigma}\)。
性质：
- \(Cov(\mathbf{X})\)是对称矩阵
- \(Cov(\mathbf{X})\)是非负定矩阵