分析力学：等时变分

时间：2024-12-04 23:58:55浏览次数：6

标签：分析函数导数积分变分泛函力学时变 A.1

小记一下分析力学里等时变分的概念

1 理解笔记

主要介绍函数的变分、函数导数的变分和泛函的变分的定义，及相关的两条性质。

函数导数的变分等于函数变分的导数,即变分与微分的运算顺序可以互换。
函数定积分的变分等于函数变分的定积分,即变分与定积分运算的顺序可以互换。

1.1 函数及其导数的变分

设可微函数 $x(t)$ 如上图A.1中的实线所示，当自变量 $t$ 有微小增量 $dt$ 时，函数 $x$ 的相应的增量可用导数 $\dot{x}(t)$ 表示为

微分： $\dot{x}dt$ 定义为 $x(t)$ 的微分，记作 $dx$ ，即 $dx=\dot{x}dt$

设 $\tilde{x}(t)$ 为与 $x(t)$ 接近的另一个函数如上图A.1中的虚线所示，满足

其中， $\varepsilon$ 为任意无穷小实数， $\eta (t)$ 为任意可微函数。

变分：将函数 $\tilde{x}(t)$ 与 $x(t)$ 在同一时刻的差值定义为 $x(t)$ 在确定时刻的变分(也称等时变分)，
记作 $\delta x$ ，即 $\delta x=\tilde{x}(t)-x(t)=\varepsilon \eta (t)$

当函数 $x(t)$ 变成 $\tilde{x}(t)$ 时，函数的导数 $\dot{x}(t)$ 变成 $\dot{\tilde{x}}(t)$

$\dot{x}(t)$ 的变分，定义为 $\delta \dot{x}=\dot{\tilde{x}}(t)-\dot{x}(t)$

由于：，对比上式发现

函数导数的变分等于函数变分的导数,即变分与微分的运算顺序可以互换。

1.2 (定积分)泛函的变分

泛函：凡变量的值是由一个或多个函数的选取而确定的,此变量称为这些函数的泛函。

定积分就是最常见的泛函，当 $x(t)$ 变成 $x(t)+\varepsilon \eta (t)$ 时，泛函记作 $\tilde{J}$ 即：。

泛函 $J$ 的变分：当定积分的上下限 $t_{1},t_{2}$ 不变时，由于函数 $x(t)$ 的微小变化而导致的泛函 $J$ 的微小改变定义为泛函 $J$ 的变分，记作 $\delta J$ ，即

被积函数为 $x(t)$ 的微小变化所引起的函数F的微小改变,即 $F$ 的变分 $\delta F$ ，

导出，得

函数定积分的变分等于函数变分的定积分,即变分与定积分运算的顺序可以互换。

2 参考原文

注：原文内容在《高等动力学》(第二版)刘延柱编著附录A.1 等时变分 P290

标签：分析,函数,导数,积分,变分,泛函,力学,时变,A.1
From： https://blog.csdn.net/qq_58675332/article/details/144182864

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