积分的技巧（二）

        本文主要介绍针对三角函数积分中常见的形如、（为正整数）这种倍角积分的求解方法，也就是倍角法。其核心思想就是降幂，将高次幂的积分降为一次幂的积分，然后再次求解积分。

        倍角法其实就是棣莫弗公式的巧用，我们来看一下棣莫弗公式，如下

        如果我们令

        我们稍微变换一下，取一下倒数，就有

        我们将上述两个式子联立求解可得

                                             、

        如果将那两个式子代入棣莫弗公式就有

        我们将新得来的两个式子联立求解可得

                                             、

        上述这些巧用棣莫弗公式变换得来的式子就是后面倍角法会用到的。

        接下来我们举几个例子来实操一下这个倍角法。我们先看这个积分，既然使用倍角法，那么我们就得降幂，结合之前变换得到的式子，于是就有

        我们使用二项式定理展开一下，就有

        接下来我们结合式子就可以实现降幂

        现在降幂之后的一次幂的三角函数积分求解起来就比较简单了。

        结合上述式子，求解积分应该会有所心得，我们来看一个新的例子，即求解积分，我们先结合式子，于是就有

        我们还是使用二项式展开，即

        接着结合式子即可实现降幂

        这样子就可以简单地求解原积分了。

        上述列举的三个例子以供大家熟悉倍角法求积分的过程。但是要说明的是鉴于该式子

        将正弦函数与虚数结合在一块，遇到求解正弦函数偶次幂积分的时候，虚数经过偶次幂之后可以消除，所以不必顾虑；但是遇到求解正弦函数奇次幂时，虚数经过奇次幂之后仍旧保留，无法消除，故倍角法还是适用于正弦函数的偶次幂。对于余弦函数，由于式子没有将余弦函数与虚数绑在一起，所以就不用顾虑虚数是否会被消除，倍角法适用于余弦函数的奇、偶次幂。

        其实针对形如这种正弦、余弦函数乘积的积分，倍角法还是适用的，思想是不变的，思路也是一致的。