积分的技巧（一）

标签：技巧求解积分替换法整理我们式子

本文主要介绍一些比较巧妙、新颖的积分方法，内容均为课外书籍与其他材料的整理与总结，仅供后续的复习、学习与交流。如果涉及侵权之类，请私信，博主会及时处理。

一、三角替代法

三角替代法顾名思义就是结合直角三角形的边、角与三角函数的关系对被积函数进行换元替代，进而简化积分的方法，主要介绍三种类型的替代法。

<1>函数 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 的积分，利用下图的边、角关系进行求解

我们设 $x=asin\theta$ ，那么 $dx=acos\theta d\theta$ ，即 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=acos\theta$ ， $\theta =arctan\frac{x}{a}$

那么对于原来的积分式子我们就可以进行下列的求解：

$\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int acos\theta acos\theta d\theta =a^{2}\int cos^{2}\theta d\theta$

现在的积分就是比较容易求解了，求解之后的结果即

$\frac{1}{2}(asin\theta acos\theta+a^{2}\theta)+C$

最后将与 $\theta$ 有关的式子换为之前含 $x$ 的式子即可，

$\frac{1}{2}(x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}arctan\frac{x}{a})+C$

<2>函数 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 的积分可以利用下图的边、角关系进行求解

我们设 $x=tan\theta$ ， $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=asec\theta$ ，那么 $dx=asec^{2}\theta$ ， $\theta=arctan\frac{x}{a}$ ，则

$\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\int asec\theta asec^{2}\theta d\theta=a^{2}\int sec^{3}\theta d\theta$

$=\frac{a^{2}}{2}tan\theta sec\theta+\frac{a}{2}\ln \left | tan(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi }{4}) \right |+C$

$=\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{1}{2}a^{2}\ln \left | x+\sqrt{a^{2}+x^{2}} \right |+C$

针对积分 $\int sec^{3}\theta d\theta$ 会在后续文章更新，这次主要是介绍一个三角替换的思想。

<3>函数 $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ 的积分，见下图

我们还是设 $x=asec\theta$ ，则 $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=atan\theta$ ， $dx=asec\theta tan\theta d\theta$ ，则

$\int\sqrt{x^{2}-a^{2}}d\theta=\int atan\theta asec\theta tan\theta d\theta=a^{2}\int sec\theta tan^{2}\theta d\theta$

$=a^{2}\int sec\theta (sec^{2}\theta -1)d\theta =a^{2}\int sec^{3}\theta d\theta -a^{2}\int sec\theta d\theta$

之前已经提供 $\int sec^{3}\theta d\theta$ 的积分结果，这里还是直接提供 $\int sec\theta d\theta$ 的积分结果

$\int sec\theta d\theta=\ln \left | tan(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4}) \right |+C$

据此即可求得原式的结果。

二、欧拉替换法

欧拉替换法一般应用于被积函数形式为 $G(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})$ ，也就是指 $x$ 与 $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ 的有理函数（即这个式子可以表达成两个多项式的商，形如 $e^{x+y}$ 、 $sin(x+y)$ 这种无法表达成两个多项式的商就不算有理函数）。一般情况下 $ax^{2}+bx+c$ 不存在两个相等的根才能使用欧拉替换。因为欧拉替换法的本质就是将无理式有理化，如果 $ax^{2}+bx+c$ 存在两个相等的根，就表示 $\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ 可以直接开根号算出来，这样本来的无理式就变成有理式了，这就用不到欧拉替换了。