高维前缀和

二维前缀和

一般的做法是容斥：

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];

实际上也可以固定其他维度，依次在每一维上求前缀和，即：

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        a[i][j] += a[i - 1][j];
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        a[i][j] += a[i][j - 1];

三维前缀和

同上，有：

for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        for (int k = 1; k <= n; ++ k) 
            a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        for (int k = 1; k <= n; ++ k)
            a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    for (int j = 1; j <= n; ++ j)
        for (int k = 1; k <= n; ++ k)
            a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

显然也可以拓展成 \(k\) 维。

SOSDP

要解决的是如下的问题：

对于所有的 \(i, (i \in [0, 2^n-1])\)，求解 \(\sum_{j \subset i} a_j\)（或者类似于求子集某些信息）。

想法如下：

将 \(n\) 位的二进制理解为 \(n\) 维，每一维仅有两个值（0 / 1），上面说的子集其实也就是高维前缀和。

故考虑枚举当前在哪一维上做前缀和，对应做即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n 2^n)\)。

for (int j = 0; j < n; ++ j) 
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++ i)
        if (i >> j & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];