二维前缀和模板

题目描述:

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式:

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。

输出格式:

共 q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围:

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例:

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例:

17
27
21

解题思路:

我们首先要理解，sum[i,j]是什么意思。

如图所示，sum[i,j]就是红色区域所包含的所有数之和.

但是题目要求我们把,[x1,y1]到[x2,y2]区域内数之和求出来，所以我们可以再画一个图.

如图所示，我们要求[x1,y1]到[x2,y2]内所有数之和，是不是可以让sum[x2,y2]减去黄色区域之和，也就是sum[x2,y2]-sum[x1-1,y2]-sum[x2,y1-1],但是我们会发现，这样会使蓝色区域被减两边，所以我们还需要把蓝色区域加一遍，最终表达式也就是

sum[x2,y2]-sum[x1-1,y2]-sum[x2,y1-1]+sum[x1-1,y1-1]

还有一步，我们要处理这个前缀和。

如图，我们要求sum[i,j],先让黄色区域加起来，也就是sum[i-1,j]+sum[i,j-1],这样会让蓝色区域加重，再减去蓝色区域,也就是sum[i-1,j-1],最后再加上a[i,j]就是我们要求的式子。

表达式如下:

sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m,q;
int a[N][N],sum[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	
	//处理前缀和 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			 sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
		}
	}
	
	//询问 
	while(q--)
	{
		int x1,y1,x2,y2;
		scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
		
		printf("%d\n",sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);
		
	}
	
	
	
	
	return 0;
}