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快速沃尔什变换(FWT)

时间:2024-11-06 20:21:05浏览次数:1  
标签:circ 变换 sum len int 沃尔什 FWT operatorname

快速沃尔什变换(FWT)

前言

本文为个人学习笔记,大量参考了 oi-wiki 以及其他博客的内容。

问题

给定 \(a, b\) 序列,求:

\[c_i = \sum_{i = j \oplus k} a_j b_k \]

其中,\(\oplus = \operatorname{or} / \operatorname{and} / \operatorname{xor}\)。

做法

核心思想

对于某种特定的 \(\oplus\),找到序列 \(FWT_a, FWT_b, FWT_c\) 分别对应序列 \(a, b, c\),需要满足以下性质和要求:

1、\(FWT_{c_i} = FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i}\);

2、需要在优秀的时间复杂度内进行 \(a\) 和 \(FWT_a\) 的变换。

下面一个一个符号来。

\(\operatorname{or}\)

\[FWT_{a_i} = \sum_{j, j | i = i} a_j \\ FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i} = \sum_{j, j | i = i} a_j \cdot \sum_{k, k | i = i} b_j = \sum_{j, k, (j | k) | i = i} (a_jb_k) = FWT_{c_i} \]

考虑 \(a\) 和 \(FWT_a\) 的变换,考虑分治处理,写出如下形式(\(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7\)):

轮数 长度 \(FWT_0\) \(FWT_1\) \(FWT_2\) \(FWT_3\) \(FWT_4\) \(FWT_5\) \(FWT_6\) \(FWT_7\)
1 1 \(a_0\) \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\) \(a_5\) \(a_6\) \(a_7\)
2 2 \(a_0\) \(a_0 + a_1\) \(a_2\) \(a_2 + a_3\) \(a_4\) \(a_4 + a_5\) \(a_6\) \(a_6 + a_7\)
3 4 \(a_0\) \(a_0 + a_1\) \(a_0 + a_2\) \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3\) \(a_4\) \(a_4 + a_5\) \(a_4 + a_6\) \(a_4 + a_5 + a_6 + a_7\)
4 8 \(a_0\) \(a_0 + a_1\) \(a_0 + a_2\) \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3\) \(a_0 + a_4\) \(a_0 + a_1 + a_4 + a_5\) \(a_0 + a_2 + a_4 + a_6\) \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \\ a_4 + a_5 + a_6 + a_7\)

容易写出以下代码,

inline void FWT_OR(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i + len / 2] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
}

对于 \(FWT_a\) 变换为 \(a\),反着把 \(FWT_a\) 数组转化为 \(a\) 数组即可。

inline void IFWT_OR(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i + len / 2] = (A[i + len / 2] - A[i]) % mod;
}

\(\operatorname{and}\)

\[FWT_{a_i} = \sum_{j, j \& i = i} a_j \\ FWT_{a_i} \cdot FWT_{b_i} = \sum_{j, j \& i = i} a_j \cdot \sum_{k, k \& i = i} b_j = \sum_{j, k, (j \& k) \& i = i} (a_jb_k) = FWT_{c_i} \]

\(FWT_a\) 和 \(a\) 的变换同上。

inline void FWT_AND(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
}

inline void IFWT_AND(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i)
                A[i] = (A[i] - A[i + len / 2]) % mod;
}

\(\operatorname{xor}\)

这个比较难。

以下摘自 oi-wiki。

若我们令 \(x\circ y\) 表示 \(x\cap y\) 中 1 数量的奇偶性,即 \(x\circ y=\text{popcnt}(x\cap y)\bmod 2\),那么容易有 \((x\circ y)\operatorname{xor} (x\circ z)=x\circ(y\operatorname{xor} z)\)。

下证上式(\((x\circ y)\operatorname{xor} (x\circ z)=x\circ(y\operatorname{xor} z)\)):

只考虑 \(x\) 的二进制中为 1 的位,\(x\cap y\) 中 1 的数量 和 \(x\cap z\) 中 1 的数量可以分成三个部分:

1、都有的数量 \(A\)

2、仅有 \(y\) 有的数量 \(B\)

3、仅有 \(z\) 有的数量 \(C\)

即证明:\(((A + B) \bmod 2) \operatorname {xor} ((A + C) \bmod 2)= (B + C) \bmod 2\)

显然,当 \(A = B = C = 0\) 时上式成立,\(A\),\(B\),\(C\) 增加 1 并不会改变上述等式。

\(FWT[A]_i=\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j\),证明如下:

\[\begin{aligned} FWT[A]_iFWT[B]_i&=\left(\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j\right)\left(\sum_{i\circ k=0}B_k-\sum_{i\circ k=1}B_k\right) \\ &=\left(\sum_{i\circ j=0}A_j\sum_{i\circ k=0}B_k+\sum_{i\circ j=1}A_j\sum_{i\circ k=1}B_k\right)-\left(\sum_{i\circ j=0}A_j\sum_{i\circ k=1}B_k+\sum_{i\circ j=1}A_j\sum_{i\circ k=0}B_k\right) \\ &=\sum_{(j\oplus k)\circ i=0}A_jB_k-\sum_{(j\oplus k)\circ i=1}A_jB_k \\ &=FWT[C]_i \end{aligned} \]

inline void FWT_XOR(int *A) {
    for (int len = 2; len <= (1 << n); len *= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i) {
                A[i] = (A[i] + A[i + len / 2]) % mod;
                A[i + len / 2] = (A[i] - 2 * A[i + len / 2]) % mod;
            }
}

inline void IFWT_XOR(int *A) {
    for (int len = (1 << n); len >= 2; len /= 2)
        for (int x = 0; x < (1 << n); x += len)
            for (int i = x; i < x + len / 2; ++ i) {
                A[i + len / 2] = 1ll * (A[i] - A[i + len / 2]) 
                                     * quick_pow(2, mod - 2) % mod;
                A[i] = (A[i] - A[i + len / 2]) % mod;
            }
}

同或

若我们令 \(x\circ y\) 表示 \(x\cup y\) 中 1 数量的奇偶性,即 \(x\circ y=\text{popcnt}(x\cup y)\bmod 2\)。

\(FWT[A]_i=\sum_{i\circ j=0}A_j-\sum_{i\circ j=1}A_j\)。

标签:circ,变换,sum,len,int,沃尔什,FWT,operatorname
From: https://www.cnblogs.com/chzhc-/p/18530960

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