凸集、凸函数定义及主要性质

凸集

凸集是数学中一个重要的概念，尤其是在几何学、线性代数和优化理论中。在欧几里得空间（如 (\mathbb{R}^n)）中，一个集合 ( C ) 被称为凸集，如果对于集合中的任意两点 ( x, y \in C )，连接这两点的线段上的所有点也都属于该集合 ( C )。

更形式化地说，给定一个集合 ( C \subseteq \mathbb{R}^n )，( C ) 是凸的当且仅当对于所有 ( x, y \in C ) 和所有实数 ( t ) 满足 ( 0 \leq t \leq 1 )，有
[ tx + (1-t)y \in C. ]

这个定义意味着，如果你选取凸集内的任意两个点，并考虑从其中一个点到另一个点的所有可能的直线路径，那么这些路径上的每一点都必须仍然位于该集合内。

直观上，你可以想象一个没有“凹进去”部分的形状。例如，圆形、椭圆、矩形、正方形等都是凸集的例子；而月牙形或环形则不是凸集，因为它们含有内部的空洞或凹陷，使得某些两点之间的连线会落在集合之外。

凸集的概念不仅限于二维或三维空间，它可以扩展到任何维度的欧几里得空间乃至更一般的向量空间中。此外，在优化问题中，很多有效的算法和理论结果都是基于目标函数和约束条件所定义的区域是凸集的前提下的。

凸函数

凸函数是一个在数学领域，特别是在优化理论、实分析和凸分析中非常重要的概念。一个定义在某个实数区间上的函数 ( f ) 被称为是凸的，如果对于该区间内的任意两点 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，以及任意 ( t ) 满足 ( 0 \leq t \leq 1 )，都有以下不等式成立：

[ f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2) ]

这个不等式表明，连接函数图像上任意两点的线段总是位于这两点之间的函数图像之上或恰好在这条线上。直观地说，这意味着函数图像是向上凸起的。

如果上述不等式中的“≤”可以严格取为“<”，除非 ( t = 0 ) 或 ( t = 1 )，那么函数被称为严格凸的。

另外，如果一个函数 ( -f ) 是凸的，那么 ( f ) 就被称为凹函数；同样地，如果 ( -f ) 是严格凸的，那么 ( f ) 就被称为严格凹的。

凸函数有许多有用的性质，例如局部极小值也是全局极小值，这对于解决优化问题特别有用。此外，在某些条件下，凸函数还是连续的，并且它们的导数（如果存在）具有单调性。

性质

如何证明其的凸。注意，这里的凸指的是下凸，例如 y = x^2 的图像，在图像任意两点的连线上的点，均大于 y 上的点，这个性质。

问题

假设平面直角坐标系中，有a点，坐标为(a1,a2),有b点，坐标为(b1,b2)，以ab为端点的线段中的点的坐标，如何表示，为什么？

解答

在平面直角坐标系中，如果给定两点 ( A(a_1, a_2) ) 和 ( B(b_1, b_2) )，那么连接这两点的线段上的任意一点 ( P(x, y) ) 可以用参数 ( t ) 来表示，其中 ( t ) 是一个实数且满足 ( 0 \leq t \leq 1 )。这个参数 ( t ) 描述了从点 ( A ) 到点 ( B ) 的位置比例。

具体来说，线段上任意一点 ( P ) 的坐标可以表示为：
[ P(x, y) = (tx_1 + (1-t)x_2, ty_1 + (1-t)y_2) ]
或者更明确地：
[ x = ta_1 + (1-t)b_1 ]
[ y = ta_2 + (1-t)b_2 ]

这里，( t ) 的取值决定了点 ( P ) 在线段 ( AB ) 上的位置：

• 当 ( t = 0 ) 时，( P ) 点与 ( B ) 点重合，即 ( P = B )。
• 当 ( t = 1 ) 时，( P ) 点与 ( A ) 点重合，即 ( P = A )。
• 当 ( 0 < t < 1 ) 时，( P ) 点在线段 ( AB ) 内部，且 ( t ) 越接近 0，( P ) 点越靠近 ( B )；( t ) 越接近 1，( P ) 点越靠近 ( A )。

为什么这样表示？

这种表示方法基于向量的概念。如果我们把 ( A ) 和 ( B ) 看作是从原点出发的两个向量，那么从 ( A ) 到 ( B ) 的向量是 ( \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2) )。对于线段上的任意一点 ( P )，我们可以将 ( P ) 看作是从 ( A ) 出发，沿着 ( \vec{AB} ) 方向移动一定距离后到达的位置。

移动的距离可以通过 ( t ) 来控制，( t ) 乘以 ( \vec{AB} ) 给出的是从 ( A ) 向 ( B ) 移动的距离。因此，点 ( P ) 的位置可以用以下向量方程来描述：
[ \vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} ]
[ \vec{OP} = (a_1, a_2) + t(b_1 - a_1, b_2 - a_2) ]
[ \vec{OP} = (a_1 + t(b_1 - a_1), a_2 + t(b_2 - a_2)) ]
[ \vec{OP} = (ta_1 + (1-t)b_1, ta_2 + (1-t)b_2) ]

这就是为什么线段 ( AB ) 上的任意一点 ( P ) 的坐标可以表示为 ( (ta_1 + (1-t)b_1, ta_2 + (1-t)b_2) )。这种表示方法直观地反映了点 ( P ) 在线段 ( AB ) 上的位置，并且当 ( t ) 从 0 增加到 1 时，( P ) 从 ( B ) 移动到 ( A )。