微积分（甲）II 辅学：期末复习
一、级数
级数 \(\sum a_n\) 收敛（发散）等价于数列 \((\sum_{i=1}^n a_i)\) 收敛（发散）。
1.1 正项级数
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比较判别法：
- \(\sum a_n\) 收敛，\(b_n\leq a_n\)，\(\sum b_n\) 收敛；
- \(\sum a_n\) 发散，\(b_n\geq a_n\)，\(\sum b_n\) 发散。
- 积分判别法：\(\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x\leq \sum f(n)\leq\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\)。
-
\(p-\)判别法：
- \(a_n\leq Cn^p,p<-1\)，\(\sum a_n\) 收敛；
- \(a_n\geq Cn^p,p\geq -1\)，\(\sum a_n\) 发散。
例题 1 讨论 \(\sum_{n\geq 2} \frac 1{n^p\ln^q n}\) 的收敛性。
例题 2 讨论 \(\sum \sin \dfrac{1}{n^p}\) 的收敛性。
1.2 变号级数
- \((a_n)\) 收敛于零，则\(\sum (-1)^na_n\) 收敛。例如 \(\sum \frac{(-1)^n}n\)。
- （Dirichlet）\((\sum_{i=1}^n a_i)\) 有界，\((b_n)\) 单调收敛于零，则 \(\sum a_nb_n\) 收敛。例如 \(\sum \dfrac{\sin n}{n}\) （如何证明 \((\sum_{i=1}^n \sin i)\) 有界？）。
- （Abel）\(\sum a_n\) 收敛，\((b_n)\) 单调有界，则 \(\sum a_nb_n\) 收敛。
- 绝对收敛：\(\sum |a_n|\) 收敛；条件收敛：\(\sum a_n\) 收敛但 \(\sum |a_n|\) 不收敛。
1.3 函数列、函数项级数
- 点态收敛：\(f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)\) 。
- 一致收敛：\(\forall \epsilon>0, \exists N, ~\text{s.t.}~\forall n>N,\forall x\in (a,b), |f_n(x)-f(x)|<\epsilon\)。\((x^n)\) 在 \([0,1]\) 上点态收敛，不一致收敛。
- 一致收敛的函数列，极限号可与极限、求导、求积分号交换。
1.4 幂级数（重点）
- 定义：\(f(x) = \sum_{n\geq 0} a_n(x-x_0)^n\)，收敛域 \((x_0-R,x_0+R)\) ，\(R\) 为收敛半径。\(a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\) 。
- 常见幂级数展开式（在 \(0\) 处展开）
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幂级数的加减、乘法和复合：
\[f(x)+g(x)=\sum (a_n+b_n)x^n, f(x)g(x) = \sum (\sum_{j=0}^n a_jb_{n-j}) x^n, f(g(x)) = \sum a_ng(x)^n = ... \]例如 \(\dfrac {1-x}{1+x^2}+\arctan x\)。
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较复杂的函数求幂级数展开可以考虑求导或积分：
\[f'(x) = \sum na_nx^{n-1}, \int f(x)\mathrm{d}x = \sum \frac{a_nx^{n+1}}{n+1}+C \]例如 \(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)。
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幂级数反向应用于级数求和。例如 \(\sum_{n\geq 0} \dfrac{n^2}{2^n}, \sum_{n\geq 0}\dfrac {(-1)^n}{n2^n},\sum_{n\geq 0} \dfrac 1{(2n)!}\)。
例题 4 求 \(x^2\arctan x^2 - \ln\sqrt{1+x^4}\) 的麦克考林级数。
例题 5 计算级数 \(\sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}\)。
1.5 傅里叶级数
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周期为 \(2\pi\) 的函数的傅里叶级数
\[f(x) \sim \frac {a_0}2+\sum_{n\geq 1} (a_n\cos nx+b_n\sin nx), a_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x, b_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x \]傅里叶级数在 \(f(x)\) 的连续点处收敛到 \(f(x)\)，在第一类间断点处收敛到 \(\frac{f(x+)+f(x-)}2\)，在第二类间断点处不收敛。
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傅里叶级数的复形式
\[f(x) \sim \sum_{n\in \mathbb{Z}} a_ne^{\mathrm{i}nx},a_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x \] -
周期为 \(2l\) 的函数的傅里叶级数
\[f(x)\sim \frac {a_0}2 + \sum_{n\geq 1} \left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l} +b_n\sin\frac{\pi nx}{l}\right), a_n = \frac 1l\int_{-l}^l f(x)\cos\dfrac{\pi nx}{l}\mathrm{d}x, b_n=\frac 1l\int_{-l}^lf(x)\sin\dfrac{\pi nx}{l}\mathrm{d}x \] -
傅里叶级数应用于级数求和。例如 \(\sum \frac 1{n^2},\sum \frac 1{n^4}\) （自己构造很难，一般会直接给出 \(f(x)\)）。
例题 6 求 \(x^2\) 在 \([-\pi,\pi]\) 上的傅里叶级数，并计算级数和 \(\sum \frac 1{n^2}\)。
二、多元微分
多元微积分部分只需熟练掌握二、三维的概念和计算。
下面的概念都以二维为例，三维直接推广。
2.1 可微定义
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偏导数
\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = f_x(x,y) = \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta,y)-f(x,y)}{\delta} \]实际计算时，直接把 \(y\) 当常数对 \(x\) 求导即可。但如果这样算得到了未定式（例如零比零，无穷比无穷，或者有不可导的部分），需要改用定义。
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方向导数
\[\eta=(\cos\theta,\sin\theta),\frac{\partial f}{\partial\eta}(x,y) = f_\eta(x,y) = \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta\cos\theta,y+\delta\sin\theta)-f(x,y)}{\delta} \]如果 \(f\) 可微，则 \(f_\eta(x,y)=f_x(x,y)\cos\theta+f_y(x,y)\sin\theta\)。
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可微
\[f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) \]注意：可微不等价于偏导数存在，也不等价于方向导数存在，也不等价于偏导数存在+连续。
一般只能通过定义来证明可微性。若想证明不可微，只需证明\((x,y)\)沿不同路径趋向于 \((x_0,y_0)\) 时差商极限不同即可。
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全微分、梯度
\[df(x,y) = f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy \\ \mathbf{grad}f(x,y) = (f_x(x,y),f_y(x,y)) \]全微分存在的前提是可微。
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高阶偏导数
严格来说，高阶偏导数的定义是和求偏导的顺序有关的。
但一般情况下，直接按任意顺序依次求偏导即可。例如 \(f_{xxy}\) 就可以先对 \(x\) 求二阶导（把 \(y\) 当作常数），再对 \(y\) 求一阶导（把 \(x\) 当作常数）。
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链式法则
\[\dfrac{\partial f}{\partial x}(u(x,y),v(x,y))=f_u(u(x,y),v(x,y))u_x(x,y)+f_v(u(x,y),v(x,y))v_x(x,y) \]当链式法则和高阶偏导同时出现时，需要注意此时高阶偏导需要逐次求导，且低阶偏导数都要看成关于 \(u,v\) 的函数。
例题 7 求函数 \(f(x,y)=\frac{y^2\ln(1+xy)}{x^2+y^4}\) 在 \((0,0)\) 处的方向导数。\(f\) 在 \((0,0)\) 是否可微？
例题 8 \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,\xi=x+y,\eta=x-y\)，证明 \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta}=0\)。
2.2 隐函数定理（重点）
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一元隐函数求导
设 \(y(x)\) 是由 \(f(x,y)=0\) 确定的隐函数，则 \(y'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}\)。
进一步结合链式法则有 \(y'' = -\dfrac{f_y(f_{xx}+f_{xy}y')-f_x(f_{xy}+f_{yy}y')}{f_y^2}=-\dfrac{f_{xx}f_y^2-2f_xf_yf_{xy}+f_{yy}f_x^2}{f_y^3}\)。
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多元隐函数求导
设 \(z(x,y)\) 是由 \(f(x,y,z)=0\) 确定的隐函数，则 \(z_x(x,y) = -\frac {f_x(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}\)。
\(z_{xx},z_{xy},z_{yy}\) 等高阶偏导的计算同样结合链式法则，公式类似。
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多元隐函数方程组
设 \(y(x),z(x)\) 是由 \(f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0\) 确定的隐函数，则
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} f_y & f_z \\ g_y & g_z \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y' \\ z' \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} f_x \\ g_x \\ \end{bmatrix} =0. \end{aligned} \]设 \(z(x,y),w(x,y)\) 是由 \(f(x,y,z,w)=0,g(x,y,z,w)=0\) 确定的隐函数，则
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} f_z & f_w \\ g_z & g_w \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_x \\ w_x \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} f_x \\ g_x \\ \end{bmatrix} =0. \end{aligned} \]
例题 9 \(z(x,y)\) 由 \(x^2+y^2+z^2=e^{x+y+z}\) 确定，\(f(x,y)=e^x\sin(y+z(x,y))\)，求 \(f_{xy}(0,0)\)。
例题 10 \(f(x,e^x)=e^x,f(x^2-1,2x+3)=x^2e^x\)，求 \(\mathbf{grad}\boldsymbol{f}(0,1)\)。
2.3 几何应用
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三维曲线的切线
参数式曲线 \((x(t),y(t),z(t))\) 在 \((x(t_0),y(t_0),z(t_0))\) 点的切线方程为
\[x = x'(t_0)s+x(t_0),\\ y=y'(t_0)s+y(t_0),\\ z=z'(t_0)s+z(t_0).\\ \]方程式曲线 \(f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 点的切线方程为
\[(f_x,f_y,f_z)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0, \\ (g_x,g_y,g_z)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0. \\ \] -
三维曲线的法平面
参数式曲线 \((x(t),y(t),z(t))\) 在 \((x(t_0),y(t_0),z(t_0))\) 点的法平面方程为
\[(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\cdot(x-x(t_0),y-y(t_0),z-z(t_0))=0. \]方程式曲线 \(f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 点的法平面方程为
\[(f_x,f_y,f_z)\times(g_x,g_y,g_z)|_{(x_0,y_0,z_0)}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0. \] -
三维曲面的法线
方程式曲面 \(f(x,y,z)=0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 点的法线方程为
\[x=f_x(x_0,y_0,z_0)s+x_0,y=f_y(x_0,y_0,z_0)s+y_0,z=f_z(x_0,y_0,z_0)+z_0. \]参数式曲面 \((x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 在 \((x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))=(x_0,y_0,z_0)\) 点的法线方程为
\[x=(y_uz_v - y_vz_u)s+x_0,\\ y=(z_ux_v - z_vx_u)s+y_0,\\ z=(x_uy_v - x_vy_u)s+z_0.\\ \] -
三维曲面的切平面
方程式曲面 \(f(x,y,z)=0\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 点的切平面方程为
\[(f_x,f_y,f_z)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0. \]参数式曲面 \((x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 在 \((x(u_0,v_0),y(u_0,v_0),z(u_0,v_0))=(x_0,y_0,z_0)\) 点的切平面方程为
\[((y_uz_v - y_vz_u),(z_ux_v - z_vx_u),(x_uy_v - x_vy_u))|_{(u_0,v_0)}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0) = 0. \]
2.4 多元最值、极值（重点）
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驻点
\(df(x,y)=0\) 则 \((x,y)\) 是驻点。极值点都是驻点。- \(d^2f\) 正定，极小值；
- \(d^2f\) 负定，极大值；
- \(d^2f\) 不定，非极值（鞍点）；
- \(d^2f\) 半定，无法判断，改用定义。
无条件最值：直接找所有驻点比较即可，无需再判断是否为极值。
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拉格朗日乘子法
\[\min f(x,y,z)\mathrm{~s.t.~}g_1(x,y,z)=0,g_2(x,y,z)=0, \]
求解条件极值问题的方法。
例如要解令
\[L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = f(x,y,z) + \lambda_1 g_1(x,y,z) + \lambda_2 g_2(x,y,z) \]然后求 \(L\) 的无条件最小（极小）值点即可。最大值同理。
区域最值：先找所有驻点，然后讲区域边界表示为限制条件。求条件极值。
例题 11 求曲面 \(\frac{x^2}9+\frac{y^2}{16}+\frac {z^2}{25}=1\) 和平面 \(2x+3y+z=1\) 的距离的最大值。
三、多元积分
3.1 多重积分
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累次积分
形如 \(\int_a^b\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\) 的积分。
先对内部关于 \(y\) 的函数（把 \(x\) 视为常数）积分。再对外部关于 \(x\) 的函数积分。
累次积分可以交换两个积分号。具体做法是：联立两个不等式 \(a\leq x\leq b, c(x)\leq y\leq d(x)\)，先把 \(y\) 的范围 \(I_y\) 解出来，然后用第二个不等式反解出 \(x\) 的范围 \(I_x(y)\)。
积分化为 \(\int_{I_y}\int_{I_x(y)} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)。这里 \(I_y\) 和 \(I_x(y)\) 都是若干个不交区间的并。 -
重积分
形如 \(\int_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 的积分。
先将 \(D\) 表示成不等式的形式（如果是某几条曲线围成的有界区域，就画出草图然后看区域对应的不等式），然后固定 \(x\)（或 \(y\)），解出 \(y\) 的范围 \(I_y(x)\)（或 \(x\) 的范围 \(I_x(y)\)）。
重积分化为累次积分 \(\int_{I_x}\int_{I_y(x)} f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\)。 -
变量替换
\[\int_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{T(D)} f(x(u,v),y(u,v))\bigg|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\mathrm{d}u\mathrm{d}v \]
设 \(T: (x,y)\rightarrow (u,v)\) 是 \(D\) 到 \(T(D)\subset \mathbb{R}^2\) 的连续可微双射，\(f(x,y)\)，则严格来说，因为面积（体积）为 \(0\) 的区域积分不影响积分值，所以 \(T\) 只要在 \(D\) 去掉一个面积（体积）为 \(0\) 的子集后的区域满足上面的性质即可。
\[\begin{aligned} x & = r\cos \theta, y = r\sin \theta, & \bigg|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\bigg| & = r \\ x & = r\sin \varphi\cos \theta, y = r\sin \varphi\sin \theta, z = r\cos \varphi, & \bigg|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}\bigg| & = r^2\sin\varphi \\ x & = r\cos \theta, y = r\sin \theta, z = z, & \bigg|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}\bigg| & = r \\ (u,v,w)^T & = A(x,y,z)^T+(x_0,y_0,z_0)^T, & \bigg|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigg| & = \det(A)^{-1} \\ \end{aligned} \]
常见的变量替换公式有这几类替换分别称为二元极坐标、三元极坐标、柱坐标变换和线性坐标变换。
例题 12 计算重积分
\[\int_D y\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]其中 \(D\) 为 \(x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t) (0\leq t\leq 2\pi)\) 与 \(x\) 轴所围成的区域。
例题 13 计算重积分
\[\int_\Omega z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z. \]其中 \(\Omega\) 为 \(z=xy, y=x, x=1, z=0\) 所围成的区域。
例题 14 计算区域 \(D\) 的面积，其中 \(D\) 是曲线 \((x^2+y^2)^2 = a(x^3 - 3xy^2)\) 所围成的图形。
例题 15 计算重积分
\[\int_\Omega (x+y+z)^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z. \]\(\Omega\) 是曲面 \(x^2+y^2=2az\) 和 \(x^2+y^2+z^2=3a^2\) 围成的有界区域。
3.2 第一类曲线、曲面积分
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参数式第一类曲线积分
\[\int_\gamma f(x,y)\mathrm{d}s = \int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\mathrm{d}t. \]
设曲线参数表示为 \(\gamma = (x(t), y(t)), t\in [a,b]\)，则特别地，当曲线有显式表达 \(y=y(x)\) 时，
\[\int_\gamma f(x,y)\mathrm{d}s = \int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+y'(x)^2}\mathrm{d}x. \]熟记圆、椭圆等曲线的参数方程。
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参数式第一类曲面积分
\[\int_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v. \]
设曲面参数表示为 \(\Sigma = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)\in D\)，则其中 \(E=x_u^2+y_u^2+z_u^2, F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v, G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\)。
\[\int_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S = \int_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]
特别地，当曲面有显式表达 \(z=z(x,y)\) 时，熟记球面、椭球面等曲面的参数方程。对于球面 \(x^2+y^2+z^2=R^2\)。\(\sqrt{EG-F^2} = R\)。
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方程式第一类曲面积分
\[\int_\Sigma f(x,y,z)\mathrm{d}S = \int_D f(x,y,z)\dfrac{\sqrt{g_x^2+g_y^2+g_z^2}}{|g_z|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]
设曲面方程为 \(g(x,y,z)=0\)，则
例题 16 计算曲线积分
\[\int_\gamma e^{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}s, \]\(\gamma\) 是 \(x^2+y^2=a^2, y=x, x=0\) 在第一象限所围图形的边界。
例题 17 计算曲线积分
\[\int_\gamma (x^2+y^2+2z)\mathrm{d}s, \]\(\gamma\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=4\) 和平面 \(x+y+z=2\) 的交线。
例题 18 求抛物面 \(z=x^2+y^2\) 被 \(z=1\) 截下的有界部分 \(\Sigma\) 的面积。
例题 19 计算曲面积分
\[\int_\Sigma (xy+yz+zx)\mathrm{d}S. \]\(\Sigma\) 为 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 被柱面 \(x^2+y^2=2ax\) 所截部分。
3.3 第二类曲线、曲面积分
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第二类曲线积分
\[\int_\gamma P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y = \int_a^b P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\mathrm{d}t. \]
设曲线参数表示为 \(\gamma: (x(t), y(t)), t\in [a,b]\)，则 -
第二类曲面积分
\[\begin{aligned} & \int_\Sigma P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ = & \int_D P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial{u,v}} + Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} + R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ = & \int_D P(x,y,z)\cos\alpha(x,y,z) + Q(x,y,z)\cos\beta(x,y,z) + R(x,y,z)\cos\gamma(x,y,z)\mathrm{d}u\mathrm{d}v. \\ \end{aligned} \]
设曲面参数表示为 \(\Sigma: (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)\in D\)，则其中 \(\alpha,\beta,\gamma\) 是曲面在 \((x,y,z)\) 处的法向量。
例题20 计算曲线积分
\[\int_\gamma (y-z)\mathrm{d}x + (z-x)\mathrm{d}y + (x-y)\mathrm{d}z. \]\(\gamma\) 为 \(x^2+y^2+z^2=1\) 和 \(y=x\tan\alpha\) 的交线，从 \(z\) 轴正向看去是逆时针。
例题21 计算曲面积分
\[\int_\Sigma \frac{e^{\sqrt y}}{\sqrt{z^2+x^2}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x \]\(\Sigma\) 为 \(y=x^2+z^2, y=1, y=2\) 所围立体的表面，方向取外侧。
3.4 Stokes公式
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Green公式
\[\int_{\partial D} P(x,y)\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y = \int_D \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]
设 \(D\) 为平面单连通区域（直观理解，没有“洞”），\(\partial D\) 是分段光滑的简单闭曲线，且 \(P,Q\) 在 \(D\) 上具有连续偏导数，定向为正（逆时针），则如果待积积分的曲线不是闭曲线，需要用尽可能简单的曲线来“补全”。后两个公式同理。
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Gauss公式
\[\int_{\partial\Omega} P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z) + \frac{\partial Q}{\partial y}(x,y,z) + \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z. \]
设 \(\Omega\) 为空间单连通区域，\(\partial\Omega\) 是分片光滑的闭曲面，且 \(P,Q,R\) 在 \(\Omega\) 上具有连续偏导数，定向为正（外法向），则 -
Stokes公式
\[\int_{\partial\Sigma} P(x,y,z)\mathrm{d}x + Q(x,y,z)\mathrm{d}y + R(x,y,z)\mathrm{d}z = \int_{\Omega} \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]
设 \(\Sigma\) 为空间的带边界曲面，\(\partial\Sigma\) 是分段光滑曲线，且 \(P,Q,R\) 在 \(\Sigma\) 上具有连续偏导数，定向与曲面的定向服从右手定则（曲面定向向上则曲线定向为逆时针），则 -
奇点处理
在应用这三个公式时，如果右端积分区域中存在奇点，例如对 \(\int_{\partial D} \dfrac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}\) 使用格林公式，
需要在奇点附近挖去一个充分小的区域，使用格林公式计算剩余区域边界的积分 \(I_1-I_2\)，再加上被挖去的区域边界的积分 \(I_2\)。
例题22 计算曲线积分
\[\int_\gamma (x^2y\cos x + 2xy\sin x - y^2e^x)\mathrm{d}x + (x^2\sin x - 2ye^x)\mathrm{d}y, \]\(\gamma: x^{\frac 23} + y^{\frac 23} = a^{\frac 23}\)，取逆时针方向。
例题23 计算曲面积分
\[\int_\Sigma 2(1-x^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + 8xy\mathrm{d}z\mathrm{d}x - 4zx\mathrm{d}x\mathrm{d}y, \]\(\Sigma\) 是 \(x=e^y (0\leq y\leq a)\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转面，法向量与 \(x\) 轴的正向夹角为钝角。
例题24 计算曲面积分
\[\int_\Sigma x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]\(\Sigma: z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\)，方向取上侧。
例题25 计算曲线积分
\[\int_\gamma (x^2-yz)\mathrm{d}x + (y^2-zx)\mathrm{d}y + (z^2-xy)\mathrm{d}z, \]\(\gamma\) 是沿着曲线 \(x=a\cos\varphi, y=a\sin\varphi, z=\frac h{2\pi}\varphi\) 从 \((a,0,0)\) 到 \((a,0,h)\) 的路径。
例题26 计算曲线积分
\[\int_\gamma \frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}, \]\(\gamma=: (x-1)^2+y^2=R^2\)，逆时针方向。
例题27 计算曲面积分
\[\int_\Sigma \frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac 32}}, \]\(\Sigma: x^2+2y^2+3z^2=1\)，方向取外侧。
3.5 场论初步
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场
数量场：多元函数 \(f(x,y,z)\)。
向量场：多元向量函数 \(\boldsymbol{F}(x,y,z) = P\boldsymbol{i} + Q\boldsymbol{j} + R\boldsymbol{k}\)。 -
散度和旋度
\[\mathrm{div}\boldsymbol{F} = \nabla\cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \\ \mathbf{rot}\boldsymbol{F} = \nabla\times \boldsymbol{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\boldsymbol{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\boldsymbol{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}. \\ \]数量场的梯度是向量场；
向量场的散度是数量场；
向量场的旋度是向量场。 -
Laplace算子
\[\Delta f = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 R}{\partial z^2}. \] -
散度定理
\[\int_\Omega \nabla \cdot \boldsymbol{F} \mathrm{d}V = \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \int_{\partial\Omega} \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}S. \]实际应用时，我们常常会令 \(\boldsymbol{F}\) 为某个数量场的梯度。
例题28 证明格林第二公式
\[\int_\Omega(f\Delta g - g\Delta f)\mathrm{d}V = \int_{\partial\Omega} \left(f\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}} - g\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right)\mathrm{d}S. \] 标签：frac,复习,int,微积分,II,partial,例题,sum,mathrm From： https://www.cnblogs.com/EssentialSingularity/p/18514644