1-1.2 数值方法B 续

求解非线性方程

一般地，对一个方程求解，就是令\(f(x)=0\)。那么，解方程就意味着找到方程的根（root）。

有很多求解非线性方程的方法，它们一般有两种分类；

• 区间法/夹逼法：选择一个区间，该区间的两端函数值的符号相反，然后逐步缩小区间以逼近根。
  这种方法总能收敛，但收敛速度较慢。
• 开区间法：只需要一个初始猜测值，然后使用迭代公式逼近根。
  这种方法计算速度快，但不保证收敛：如果初始猜测不够好，可能导致找不到根或发散。

以下是几种常见的求解非线性方程根的数值方法：

1. 二分法：区间法，即通过逐渐缩小一个已知包含根的区间来逼近解。

2. 牛顿-拉夫森法：开区间法。

3. 割线法：牛顿法的改进版，它无需计算导数，而是通过两点的割线来近似导数，其迭代公式为：

   \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})} \]

4. 布伦特法：结合了二分法的稳健性和牛顿法的快速收敛性，在函数符号发生变化的区间内，逐步收缩区间，同时采用类似牛顿法的二次插值以加速收敛。

牛顿-拉夫森法

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使用该法的基本步骤：

1. 选择初始猜测解\(x_i\)​

2. 对函数\(f(x)\)进行一阶泰勒展开：
   ​\(f_T(x)=f(x_i)+f^{\prime}(x_i)(x-x_i)\)
   表示\(x_i\)处的线性近似。
   目标是找到使得\(f(x)=0\)成立的x值，因此令\(f_{T}(x)=0\)：

   \[0=f_T(x_{i+1})=f(x_i)+f^{\prime}(x_i)(x_{i+1}-x_i) \]
   \[x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f^{\prime}(x_i)} \]

   这就是牛顿-拉夫森法的迭代公式。

3. 在\(x_i\)处，计算函数斜率\(f^{'}(x_i)\)，回代进上述迭代公式以更新迭代。

该法的一些陷阱（pitfalls）：

1. 初始猜测\(x_0\)必须接近实际根；

2. 收敛依赖于函数的性质：
   ​​

   • 接近拐点：函数的导数\(f^{'}(x)\)接近0，特别是在\(f^{''}(x)=0\)时，迭代过程可能由于导数过小，步长过大，算法跳出根附近的区域，进而无法收敛，如图a；
   • 接近极值点：接近极大值或极小值时，迭代过程可能在不同点之间来回震荡（如图b），可能跳到另一个不相关的根（如图c），还可能完全发散（如图d）。

3. 没有类似二分法的区间保证，因此无法收敛时，可能发散，导致迭代步伐越走越远；

4. 需要计算函数的导数，对一些复杂函数而言可能非常麻烦，或者导数本身在某些点附近非常小，甚至为0，导致算法失败。

应对措施：

1. 设置最大迭代次数，防止算法进入无限循环或发散；
2. 检查\(|f(x_{n})|\)的大小，确保其逐渐趋近于0；
3. 尝试其他数值方法。

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