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P4213 【模板】杜教筛（Sum）
题目描述
给定一个正整数，求
\[ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \]\[ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \]输入格式
本题单测试点内有多组数据。
输入的第一行为一个整数，表示数据组数 \(T\)。
接下来 \(T\) 行，每行一个整数 \(n\)，表示一组询问。
输出格式
对于每组询问，输出一行两个整数，分别代表 \(ans_1\) 和 \(ans_2\)。
样例 #1
样例输入 #1
6
1
2
8
13
30
2333
样例输出 #1
1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2
提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证 \(1 \leq T \leq 10\)，\(1 \leq n \lt 2^{31}\)。
解题思路
杜教筛
杜教筛主要用来快速求解数论函数的前缀和问题，即对于这样一个数论函数 \(f(x)\)，计算 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)
\(\color{red}{思考如何将原式转化为整除分块求解？}\)
设任意两个积性函数 \(f(x),g(x)\)，由迪利克雷卷积，设 \(h(x)=f·g(x)\)，则 \(\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n f·g(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{d|i}^ig(d)f(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}^nf(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor}f(i)=\sum_{d=1}^nS(\left \lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor)\)，则可以得到杜教筛公式：
线性预处理前 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 个数，其复杂度为：
- 时间复杂度：\(O(n^{\frac{2}{3}})\)
否则：
- 时间复杂度：\(O(n^{\frac{3}{4}})\)
考虑本题：求解莫比乌斯前缀和，考虑元函数 \(\epsilon\) 作为迪利克雷卷积，由莫比乌斯函数的性质 \(\sum_{d|x}\mu(d)=\left\{\begin{matrix} \ 1 & ,x=1 \\\ 0 & ,x\neq 1 \end{matrix}\right.=\epsilon(x)\)，即 \(\epsilon =\mu ·1\)，则 \(S(n)=1-\sum_{i=1}^nS(\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor)\)，此即莫比乌斯前缀和
求解欧拉函数前缀和，由欧拉函数性质：\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)，同样地，令 \(h(x)=\phi(x)·1\)，则 \(S(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i)-\sum_{i=2}^nS(\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor)=\frac{n\times(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS(\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor)\)，此即欧拉函数的前缀和
- 时间复杂度：\(O(n^{\frac{2}{3}})\)
代码
// Problem: P4213 【模板】杜教筛（Sum）
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4213
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=1e6+5;
int t,n,cnt,prime[N],v[N],u[N];
LL phi[N];
unordered_map<LL,int> mp_u;
unordered_map<int,LL> mp_phi;
void init(int n)
{
u[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!v[i])
{
u[i]=-1;
prime[++cnt]=v[i]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
if(v[i]<prime[j])break;
if(i%prime[j]==0)u[i*prime[j]]=0;
else
u[i*prime[j]]=-u[i];
v[i*prime[j]]=prime[j];
phi[i*prime[j]]=(LL)phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)u[i]+=u[i-1],phi[i]+=phi[i-1];
}
LL get(int a,LL b)
{
return a/(a/b);
}
int ask_u(int x)
{
if(x<N)return u[x];
if(mp_u[x])return mp_u[x];
int res=1;
for(LL i=2,j;i<=x;i=j+1)
{
j=get(x,i);
res-=(LL)ask_u(x/i)*(j-i+1);
}
return mp_u[x]=res;
}
LL ask_phi(LL x)
{
if(x<N)return phi[x];
if(mp_phi[x])return mp_phi[x];
LL res=x*(x+1)/2;
for(LL i=2,j;i<=x;i=j+1)
{
j=get(x,i);
res-=ask_phi(x/i)*(j-i+1);
}
return mp_phi[x]=res;
}
int main()
{
init(N-1);
for(scanf("%d",&t);t;t--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%lld %d\n",ask_phi(n),ask_u(n));
}
return 0;
}