其实是因为莫反的题非常非常要用这个所以才来学。有些莫反甚至要求灵活运用，而不只是求\(\sum\mu(n)\)和\(\sum\phi(n)\)前置的芝士狄利克雷卷积对于两个数论函数\(f,g\)，他们两个函数的前\(n\)项的狄利克雷卷积表示为\((f*g)(n)\)，\((f*g)(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\fra

\(\text{-1前言}\)\(\text{-1.0日志}\)24.08.24：启动本文企划，正式着笔。\(\text{-1.1本文记号说明}\)本文使用\(\cdot\)表示乘号，\(*\)表示卷积，\(\mathbb{P}\)表示质数集。\(\text{0基础函数科技}\)单位函数\({\bf1}(x)=1\)。幂函数\(id^k(x)=x^k\)。恒等函数（幂

今天是[whx]（？）巨佬来给我们讲数论，大概是狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、杜教筛、PN筛这条线路。虽然我很喜欢莫反，之前写了一些莫反题，但今天还是很有收获。对整除分块、杜教筛的理解更深刻了（关于整除分块为什么是\(O(\sqrtn)\)的、杜教筛的本质）。明白了\(\mu\)适合容斥。见到

当学Min25的一个前置知识。算法内容。定义\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)。对于一个函数\(g\)，有：\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n(f\timesg)(i)&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\&=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)\\&am

杜教筛参考来源：OI-Wiki，网上博客线性筛可以在线性时间求积性函数前缀和，而杜教筛可以用低于线性时间求解积性函数前缀和。我们考虑\(S(n)\)就是积性函数的前缀和，所以我们尝试构造关于\(\largeS(n)\)关于\(\largeS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)的递推式。对于任意

杜教筛学习笔记杜教筛被用于求解某一数论函数\(f\)的前缀和，即对于形如\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)形式的函数\(S\)，杜教筛能够在小于线性复杂度的复杂度内求解。算法思想尝试构造一个函数\(S\)的递推式。选择一个数论函数\(g\)，那么根据狄利克雷卷积可以得到：\[\begin{ali

这是一种对于一个数论函数\(f(n)\)，计算\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)的快速方法。构造两个积性函数\(h,g\)满足\(h=g*f\)，根据卷积的定义，有\(h(i)=\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\)，对\(h\)求和，有：\[\sum_{i=1}^nh(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\]\[=\sum_{

\(p\)是质数。\(p^k\)是质数的幂。广告https://github.com/August-Light/NTFuncs这是一个关于各种数论函数的Python库！前置知识数论分块模板题1：[UVA11526]H(n)模板题2：[LuoguP2261][CQOI2007]余数求和线性筛&线性筛数论函数模板题1：[LuoguP3383]【模板

问题引入给定一个数论函数\(f(x)\)，求\(\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)。对\(n\le10^7\)甚至\(n\le10^8\)都是好做的，\(\mathcalO(n)\)解决即可，但如果\(n<2^{31}\)呢？这就需要亚线性时间复杂度的算法，杜教筛就是其一。杜教筛杜教筛是一种能在幂时间\(\mathcalO(

杜教筛是求一个数论函数f的前缀和，令其为S我们考虑构造一个数论函数g，根据狄利克雷卷积\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\midi}g(d)f\left(\frac{i}{d}\right)\\&=\sum_{i=1}^{n}g(i)S\le

（抄袭Alex_Wei）一、知识点假设我们先现在希望求出函数\(f\)在\(n\)处的前缀和\(s(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)，我们构造另一个数论函数\(g\)，设\(h=f*g\)，则\[\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^nh(i)\\=&\sum\limits_{ij\leqn}f(i)g(j)\\=&\sum\limits_{d=1}^ng

杜教筛处理数论函数的前缀和问题，可以在低于线性的复杂度里求出\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)。对于任意一个数论函数\(g\)，必须满足：\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\midi}g(d)*d(\frac{i}{d})\]\[=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}

原理前置知识：积性函数，狄利克雷卷积。杜教筛可以在亚线性的时间内算出某些函数的前缀和。假设我们要算出函数\(f\)的前缀和，我们要找到函数\(g\)，记\(f*g=h\)。杜教筛的前提是\(g\)的前缀和与\(h\)的前缀和都可以快速计算，我们可以快速计算\(f\)的前缀和。首先，我们考

积性函数定义：对于\(gcd(a,b)=1\)，满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)的函数。常用的积性函数：\(I(n)=1\)\(\epsilon(n)=[n==1]\)\(id(n)=n\)狄利克雷卷积对于两个数论函数\(f,g\)，它们的狄利克雷卷积卷积是：\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]单位元：\(f*\epsilon=f\)

杜教筛学习笔记闲话感觉以前根本没学懂杜教筛，于是重学了一遍，写个笔记记录一下。前置知识依赖于迪利克雷卷积、莫比乌斯反演、整除分块相关知识。记号约定及基本性质约定：\(f*g\)表示\(f\)与\(g\)的迪利克雷卷积，即\((f*g)(n)=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(j)\)。\(f\cdot

学一遍忘一遍，忘一遍学一遍，生命就是在对抗熵增这两个玩意儿都是用来求积性函数前缀和的（满足对应要求的非积性函数也可以求一下）杜教筛性质要求相对高一些求\(\sum_{i=1}^{n}f(i)\)，需要找到\(g(i),h(i)\)，满足\(h=f*g\)且\(f,g\)都可以快速求解前缀和令\(S(n)=\sum_{i=1

杜教筛杜教筛的基本形式对于积性函数\(g(n)\)我们希望求他的前缀和\(S_g(n)\)，如果有另一积性函数\(f(n)\)满足\(f*g=h\)，且\(fh\)的前缀和易求，那么我们可以通过\(S_f(n)S_h(n)\)快速的求出\(S_g(n)\)。\[\begin{aligned}S_h(n)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}f(d)\cdo

杜教筛令\(f(x)\)为某个积性函数，\(s(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)，我们构造另一干函数\(g\)算\(f*g\)的前缀和。\[\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}g(d)f(\dfrac{i}{d})=\sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=

 杜教筛起源于中学信息学队员杜瑜皓它结合了三种算法，分别是：整除分块，狄利克雷卷积和线性筛它主要是求解n较大时的积性函数的值它的时间复杂度是O(n^(2/3))，小于O(n)杜教筛在竞赛中很难出现例题：P4213【模板】杜教筛（Sum）这是一道模板题，给出代码#include<bits/stdc++.h>#def

发现这个东西很容易忘，果然还是理解不够吧，写一篇博客方便以后复习。杜教筛目的是要求\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)。我们需要构造两个函数\(g,h\)满足\(f*g=h\)，其中\(h\)是一个积性函数且能快速求和。考虑求\(\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g(\dfrac{i}{d})=\sum_{i=1}

迪利克雷卷积对于数论函数\(F\)，\(G\)，我们定义迪利克雷卷积的结果\(H=F*G\)为\[H_n=\sum_{d\midn}F_dG_\frac{n}{d}\]有些好的性质，比如：对于积性函数\(F\)与\(G\)，其迪利克雷卷积\(F*G\)也是积性函数；而在迪利克雷卷积的意义下，积性函数\(F\)的逆也是积性函数（逆满足\(F

如果我们要求一个积性函数\(f(x)\)的前缀和，可以用杜教筛在\(O(n^{\frac{2}{3}})\)的复杂度求出。具体地，构造函数\(g(x)\)和函数\(h(x)\)，使得$h=f*g$，要求的式子是\(S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)\)。开始推式子。\[\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{i=1}^{

\(\mathcal{0x01绪论}\)\(\mathcal{质数的判定试除法or六倍原理}\)一个合数的约数总是成对出现的,如果\(d|n\)(\(d\)能被\(n\)整除）,那么\((n/d)|n\),因此我们判断一个

题面设为的约数个数，给定，求题目分析有这样一个结论这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明就不再赘述,请自行查看下面的(蒟蒻)博客​​传送门:[SDOI2015][bz

题目描述求题目分析乍一看十分像裸莫比乌斯反演,然而的范围让人望而却步于是先变化一下式子枚举令k=Td则此时可以整除分块优化,每次算出相等的上下界后用莫比乌斯反演计