圆方树学习笔记

元方树。

下文除特殊强调外，所有图皆为无向图。

引入

• 割点：在图中，删除某个点后，导致图不再连通的点。
• 点双连通：在一张图中，取两个点 \(u\)、\(v\)，无论删去哪个点（除 \(u\)、\(v\) 自身外），\(u\)、\(v\) 都能连通，我们就说 \(u\) 和 \(v\) 点双连通。
• 点双连通分量（后文称点双）：对于一个无向图中的极大点双连通的子图，我们称这个子图为一个点双连通分量。

（from OI Wiki）

（下文中 \(u \leftrightarrow v\) 表示 \(u\) 和 \(v\) 在同一个点双里，这只是我个人的写法，实在懒得写了）

但点双性质实在不优秀，\(a \leftrightarrow b, b \leftrightarrow c\) 并不能推出 \(a \leftrightarrow c\)。

定义两条边相邻为：

• 两条边有公共顶点。

定义两条边属于同一个点双：

• 设两条边为 \((a, b)\)、\((c, d)\)，满足 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{c, d\}, x \leftrightarrow y\) 就称 \((a, b)\) 和 \((c, d)\) 属于同一个点双（即 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)）。

发现把边的定义整出来似乎就优秀了。

结论 \(1\)：若 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\) 且 \((c, d) \leftrightarrow (e, f)\)，则 \((a, b) \leftrightarrow (e, f)\)

证明：

• 根据定义，\((a, b) \leftrightarrow (e, f)\) 等价与 \(\forall (x, y) \in \{a, b\} \times \{e, f\}, x \leftrightarrow y\)，
• 又 \((a, b) \leftrightarrow (c, d)\)、\((e, f) \leftrightarrow (c, d)\)。
• 则任意的二元组 \((x, y)\)（这是二元组，不是边），一定满足 \(x\)、\(y\) 都与 \(c\)、\(d\) 两点属于同一个点双。
• 我们从图中删掉 \(c\)、\(d\) 中的任意一个都可以通过另外一个点从 \(x\) 到达 \(y\)。
• 如果删除的点不是 \(c\)、\(d\) 也能到达（\(x \leftrightarrow c\)、\(y \leftrightarrow c\)、\(x \leftrightarrow d\)、\(y \leftrightarrow d\)， 不连通才怪……）。
• \(a \leftrightarrow e\)、\(a \leftrightarrow f\)、\(b \leftrightarrow e\)、\(b \leftrightarrow f\)。
• 得证。

（借用一下 OI Wiki 的图，侵删）

众所周知，一条返祖边（非树边）可以使原图多一个点双。

那什么时候才能使两个点双合并成一个点双呢？

考虑把所有边都对应一个点，如果产生了一个点双则将所有在原图中相邻的的边对应的点连起来（即上图蓝边）。

只要蓝边相邻就可合并为同一个点双。

结论 \(2\)：对于树上的一个点双，深度最浅的点只有一个儿子。

证明：
使用反证法。

• 若一个点双深度最浅的点有超过一个儿子。
• 则其儿子中任意两个点均可以通过删掉父亲使其不连通，与定义不符。
• 则一个点双深度最浅的点不会有超过一个儿子。
• 得证。

正题

概念

圆方树是什么？

把一张图的所有点双统计出来，并对于每一个点双，新建一个方点（原图的点为圆点）。

将点双内所有圆点之间的边断开（点双外不断），并连到新建的方点上，如下图。

（好吧还是 OI Wiki 的）

实现

跑点双最好用的还是 tarjan 啊……

记 \(\text{dfn}_i\) 为点 \(i\) 的 dfs 序。

\(\text{low}_i\) 为点 \(i\) 能够通过非树边到达的 dfs 序最小的点的 dfs 序（包括它本身）。

结论 \(3\)：根据 结论 \(2\)，对于任意一条树边 \((u, v)\)，满足 \(u \leftrightarrow v\) 且 \(u\) 为点双最浅的点。

均满足 \(\text{low}_v = \text{dfn}_u\)（或 \(\text{low}_v \ge \text{dfn}_u\)$）。

证明：

• 既然 \(u\)、\(v\) 属于同一个点双，则其必有一条非树边连向上面。
• 则 \(v\) 点必能通过非树边走到 \(u\)。
• 它无法继续通过树边走到下面（结论 \(2\)）。
• 也无法通过另外一条非树边走到上面（若有非树边能通向上面，则 \(u\) 就不是点双最浅点了）。

后面基本就跟普通 tarjan 一样了，贴个代码（点双模板）：

void tarjan(int u) {
    st.push(u);               // 把节点放到栈里
    dfn[u] = low[u] = ++tot;  // 更新两个值
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {                     // 没访问过
            tarjan(v);                     // 访问
            low[u] = min(low[u], low[v]);  // 更新
            if (low[v] >= dfn[u]) {        // 改成 == 也行
                d_tot++;                   // 点双个数加 1
                d[d_tot].push_back(u);     // 更新点双
                while (st.top() != v) {    // 用栈死命弹
                    int t = st.top();
                    d[d_tot].push_back(t);
                    st.pop();
                }
                d[d_tot].push_back(v);
                st.pop();
            }
        } else
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);  // 更新
    }
    if (g[u].size() == 0) {  // 特判单独一个点
        d_tot++;
        d[d_tot].push_back(u);
    }
}

建一颗圆方树也就简单了（前文有注释的就没写了）：

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    st.push(u);
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            chmin(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                h_tot++;                // 建立方点
                h[h_tot].push_back(u);  // 无向图
                h[u].push_back(h_tot);
                while (st.top() != v) {
                    int t = st.top();
                    h[h_tot].push_back(t);
                    h[t].push_back(h_tot);
                    st.pop();
                }
                h[h_tot].push_back(v);
                h[v].push_back(h_tot);
                st.pop();
            }
        } else {
            chmin(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

一个技巧：区分圆点方点的最好方法就是把方点的下标从 \(n + 1\) 开始，即 h_tot 的初值赋为 \(n\)。

胜利！！！

例题

洛谷 P4320 道路相遇

建一棵圆方树。

观察到 \(u\) 到 \(v\) 的路径的必经点就是圆方树上 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的圆点个数。

题目就转换成了一个树上路径问题。

倍增 LCA 即可。

namespace zqh {
const int N = 1000005;

int n, m, q, dfn[N], low[N], tot, h_tot, f[N][25], dep[N];
stack<int> st;
vector<int> g[N], h[N];

void tarjan(int u) {  // 圆方树，注释前文有写
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    st.push(u);
    for (int v : g[u]) {
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            chmin(low[u], low[v]);
            if (low[v] >= dfn[u]) {
                h_tot++;
                h[h_tot].push_back(u);
                h[u].push_back(h_tot);
                while (st.top() != v) {
                    int t = st.top();
                    h[h_tot].push_back(t);
                    h[t].push_back(h_tot);
                    st.pop();
                }
                h[h_tot].push_back(v);
                h[v].push_back(h_tot);
                st.pop();
            }
        } else {
            chmin(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

void dfs(int u, int fa, int dp) {  // LCA，不用说啦吧
    f[u][0] = fa;
    dep[u] = dp;
    for (int x : h[u]) {
        if (x == fa)
            continue;
        dfs(x, u, dp + 1);
    }
}

void build() {
    int t = log2(n);
    for (int i = 1; i <= t; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];
        }
    }
}

int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y])
        swap(x, y);
    int dep_max = 0;
    while ((1 << (dep_max)) <= dep[x]) {
        dep_max++;
    }
    for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {
        if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) {
            x = f[x][i];
        }
    }
    if (x == y)
        return x;
    for (int i = dep_max; i >= 0; i--) {
        if (f[x][i] != f[y][i]) {
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}

int dis(int x, int y) {
    return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca(x, y)];
}

void init() {
    cin >> n >> m;
    h_tot = n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
}

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!dfn[i]) {
            tarjan(i);
        }
    }
    dfs(1, 0, 1);
    build();
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        cout << dis(u, v) / 2 + 1 << endl;  // 圆点个数
    }
}

void main() {
    init();
    solve();
}
}  // namespace zqh

应该还会加的……