直观感受（Intuition）及核心理念（Core Idea）
阿列夫数（Alephs）主要是为了衡量良序（well-ordered）的无限集（infinite set）与超限集（transfinite set）的大小（无限集中含有无限个元素，而超限集包含无限个元素，且其中有无限集作为其元素），例如自然数集合大小为第一个阿列夫数，记，aleph zero，ℵ₀。
当，把所有基数（Cardinas）看作是一个集合的时候，称为基数集（Cardinals），该集合的元素关系不仅满足了基于 小于关系（<）的线序，同时可以基于归纳（induction）的方式生成。也就是说，基数集是良序的。
核心理念形式化（Formalization）
一个序数（Ordinal） a，如果 其基数 |a| 不等于 所有小于 a 序数 的基数，那么，该序数 a 称为 基数（Cardinal），即
a ∈ Ordinals ∧ (∀b<a.(|a| ≠ |b|)) → a ∈ Cardinals
这里，可以看出，并非所有序数都是基数；如果通过序数来代表基数的话，那么基数是序数的一个子集。
当集合A是一个良序集（Well-Ordered Set）时，存在一个序数 a，使得 |A| = |a|。那么，就可以把 集合A的基数 |A| 定义为使得 |A| = |a|的最小的序数 a。记，
|A| = |a| = a，a ∈ Ordinals
那么，就有，所有的自然数 n 是基数（cardinal），也称有限基数（finite cardinal）。即，任一有限集 S，其基数 |S| 等于某一自然数 n，记
finite(s) → |S| = n, n ∈ ℕ
同时，有，序数 ℕ 是最小的无限基数（the least infinite cardinal）。此处的最小，可以看出，无限集之间也有大小关系。那么这里需要证明的是，自然数集ℕ是最小的无限集。这里，可以从ℕ的定义出发，得到其证明，即， ℕ = sup { n: n < ℕ }，即，ℕ 是所有有限集的最小上界，不存在比 ℕ 小，而包括所有有限集的集合。
另外，所有无限基数（infinite cardinals）是极限序数（limit ordinals），即不通过 “+1” 步进规则得到的序数（not a successor）。
当无限序数（infinite ordinals）是基数（cardinals）时，称之为，阿列夫数（Alephs）。如，ℕ是第一个阿列夫数（Alephs），记，aleph zero，ℵ₀。即，ℕ = ℵ₀ 。因为，序数 ℕ 是最小的无限基数（the least infinite cardinal）。
这里，无限基数是用于描述无限集大小的基数，那么，阿列夫数（Alephs）就是所有无限基数的集合。
基数的基本属性
这里，先定义基数的后继者（successor），为，给定任一基数 a，其最小且大于 a的基数 为其基数性后继者（cardinal successor），记 a⁺，即
a⁺ = min { b ∈ Cardinals: a < b}
这里，需要注意的是，a < b，是指 |a| = a < |b| = b，即，存在单射且非一一对应的函数 f: a → b。
1. 对于任一基数 a，存在一个比 a 大的基数。
证：
对于任一集合S，有最小序数（least ordinal） a，使得不存在单射函数 f: a → S。考虑一下，如果存在单射 f: a → S，那么，|a| ≤ |S|。而，当 |a| > |S| 时，就不可能存在单射函数 f: a → S。那么，其中就最小的序数就是要找的序数，记为 h(S) = min {a: |a| > |S|}，即，所有大于集合S基数的最小基数。
此时，我们要证明 h(S) 的存在。
因为，集合S中存在的良序子集是一个集合，那么，每个良序子集 S' 对应一个序数 a'。即，存在一一对应（one on one）函数 f': a' → S'。因此，那些对应的所有的序数 a' 也是一个集合。该序数集 {a' } 的最小上界也是序数。因此，存在一个序数，大于集合S中的所有子集，那么该序数对应的基数，大于集合S的基数。即，h(S)存在。
2. 如果 集合 S 是基数集（Cardinals），那么 sup S，也是 基数（Cardinal）。
证：
令 a = sup S，即 a = sup { x ∈ S, x < a }。在基数的定义，即，
a ∈ Ordinals ∧ (∀b < a.(|a| ≠ |b|)) → a = |a| ∈ Cardinals
那么，要证明，a 是基数，需要证明 a 是序数，且 不等于所有小于 a 的序数的基数 。
基于，a = sup { x ∈ S, x < a }，而 x 又是基数，即 x 是 序数，那么一些序数组成的集合的最小上界，也是序数，即 a 是序数。
另还需，证明 ∀b < a.(|a| ≠ |b|)。
假设，存在一个 b ∈ S, 有 |a| = |b|，即存在一个一一对应（one on one）的函数 f: a → b，
即假设，b < a 且 |a| = |b|。
即假设存在一个，在 基数（Cardinals）维度上，与|a|相等的基数|b|；但 序数（Ordinals）维度上，b < a。
那么，就有，在集合 S 中，存在一个基数 |c|，在序数维度上，有 b < c ≤ a。
又因，c ≤ a，c ⊂ a，且 f: a → b 是一一对应，那么 |c| = | { s: s < c } | = | { f(s) : s < c } | ≤ b。
因此，有 c ≤ b，与 b < c 矛盾，因此，不存在 b < a 且 |a| = |b|。
那么，可证 a = sup S 是基数（Cardinal）。
即，基数集的最小上界也是基数。
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