集合论（ZFC）之 幂集公理（Axiom of Power Set）注解

        集合论（ZFC）之 幂集公理（Axiom of Power Set）定义了给定一个集合X，存在一个集合Y为该集合X的幂集，记 Y = P(X)，其包含了集合X的所有子集（Subset）。

        子集关系的定义为，如果集合U的所有元素，都是集合X的元素，那么集合U就是集合X的子集，记 U ⊂ X，有

∀z( z∈U → z∈ X)

        那么，集合X的幂集定义为，

∀X ∃Y ∀u ( u∈Y ↔ u⊂X )

即，Y = P(X) = { u: u⊂X } 

        如果，U ⊂ X，且 U != X，那么 集合U 是 集合X 的 真子集（Proper Set）。

        由此，可定义积操作（Product），其输出结果为积集（Product Set），也称卡迪尔积，有：

X × Y = { (x, y): x ∈ X ∧ y ∈ Y }

        即，集合X和Y的积集（Product Set）是集合X和Y里所有元素的有序对（Ordered Pair）。

        根据 划分图式公理 及 配对公理 来定义，有：

                X × Y  = { (x, y): x ∈ X ∧ y ∈ Y }        （注：令 φ(x, y) = x ∈ X ∧ y ∈ Y ）

                = { (x, y) : φ(x, y) }         （注： 根据划分图式公理）

                = { u : ∃x ∃y ( u = (x, y) ∧ φ(x,y) ) }        （注：根据划分图式公理）

                = { u : ∃x ∃y ( u = { {x}, {x, y} } ∧ φ(x,y) ) }        （注：根据有序对的定义）

        可见，积集 X × Y 的元素的形态为 { {x}, {x, y} }，即 P(P( X ⋃ Y )) 的子集，记，

X × Y ⊂ P(P( X ⋃ Y ))

        简略证明过程如下：

                        X ⋃ Y = { xᵢ, yⱼ, ... }        （注：联合公理，xᵢ，yⱼ 为其元素形态 ）

                        P(X ⋃ Y) = { {xᵢᵇ}, {yⱼᵇ}, {xᵢᵇ, yⱼᵇ}, ... }    （注：幂集公理， ᵇ 表示是否选择，0 或 1）

                        P(P(X ⋃ Y)) = { {xᵢᵇ}ᵇ, {xᵢᵇ, yⱼᵇ}ᵇ, ... }     （注：幂集公理， ᵇ 表示是否选择，0 或 1）

        至此，可以看到 P(P(X ⋃ Y)) 具备了X × Y 的元素的形态，然后把所有形态扩展成具体的元素，就有 X × Y ⊂ P(P( X ⋃ Y )) 了。

        把积集拓展到多个集合的积运算，有

        X₁ × ... × Xₙ  = (X₁ × ... × Xₙ₋₁) × Xₙ = { (x₁,...,xₙ) : x₁ ∈ X₁ ∧ ... ∧ xₙ ∈ Xₙ }

        如果，X₁ = ... = Xₙ，有 Xⁿ  =  X₁ × ... × Xₙ .

关系的定义

        从而，定义 多元关系 （n-arg relation） R，R ⊂  Xⁿ ，那么，有

(x₁,...,xₙ) ∈ R

        即，多元关系 （n-arg relation） R 为 Xⁿ 的子集，其元素形态为 (x₁,...,xₙ) ，xᵢ ∈ X 。

        当 n = 2，多元关系 （n-arg relation） R 变成 二元关系（binary relation），即 (x, y) ∈ R。此时，定义 关系R的定义域（Domain）：

Dom(R) =  {u: ∃v(u, v) ∈ R}  且  Dom(R) ⊂  ⋃ ⋃ R

与之相对的域（Range）:

Ran(R) =  {v: ∃u(u, v) ∈ R}  且  Ran(R) ⊂  ⋃ ⋃ R

另，定义 关系R的全域（Field）：

Field(R) = Dom(R) ⋃ Ran(R)

其中的证明，可参照上述的元素形态分析法，代入对应的定义，得以论证，这里就不细说了。

函数的定义

        在关系R的基础上，将其约束成，对于任意一个定义域的元素，有且只有一个值域的元素与之对应。那么，约束后R的子集就是其函数 f ，记 (x, y) ∈ f，f ⊂ R，且

(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f → y = z

        也记为，y = f(x)，其中 Dom(f)  ⊂ X， Ran(f) ⊂ Y。

当 Dom(f)  = X，称函数 f 定义在集合 X上，即对于集合X中的任一元素 a，皆有 f(a)与之对应。记 

f: X  → Y

        所有的从集合X指向集合Y的函数的集合，记为 X → Y，也记 Yˣ，有 

Yˣ ⊂ P( X × Y )

此证明同上述逻辑相似，元素形态分析法，加上定义代入，可得其证明。

小结

        基于上述的描述，通过幂集公理定义集合的幂集后，定义了两个集合的积 是 集合，即积集，并从而派生出，关系、函数的概念。由此，可见，通过ZFC定义的公理，从而派生出一系列的概念与定义，形成数学研究的基础概念。这就是 ZFC 成为数学基础（The foundation of Mathematics）的一个体现。