直观感受（Intuition）与核心思想（Core Idea）
集合的基数（Cardinality）是衡量集合的大小，也就是集合中元素的个数。但是，由于无限集与超限集的存在，因此，单纯用自然数去描述集合的大小是不可行的。自然数只能描述有限集的大小。所以，需要一个新的概念去描述集合的大小，那就是基数（Cardinality）。通过去比较两个集合是否一一对应（one on one， bijection），来判断两集合大小是否一样。如果一一对应（one on one， bijection）的话，那么两集合大小一样，具有相同的基数。如果，某一集合单射（one to one， injection）到另一集合，且不是一一对应（one on one， bijection），那么前者的大小小于后者。
中心思想是，通过函数映射的关系，来判断两集合的大小，由此引入基数的概念。那么，需要有一个扮演有限集大小的自然数的角色，那就是序数（Ordinal）。要注意，序数是一个集合。因此，当某一集合A，与一个序数 a，一一对应（one on one， bijection），那么，可称该集合A的基数为 序数a。换句话说，序数a 是 集合A的基数（Cardinal）。意味着，该集合A的元素个数与对应序数 a的元素个数一样，记，|A| = a。
同时，又由于无限集与超限集的存在，导致在应用函数映射关系来判断两集合大小的过程中，出现很多有意思的现象。下面，就把上面的描述正规化。
形式化（Formalization）
给定两个集合A，B，如果存在一一对应（one on one， bijection）函数 f: A → B，那么两集合具有相同基数（Cardinality），记，
|A| = |B|。
其中，|A| 为集合 A 的 基数（Cardinal number 或简称 Cardinal）。
这里的关键点是，一一对应（one on one， bijection）的映射关系，决定了两集合的基数（Cardinality）是否相等。明显的是，如果两集合同构（isomorphic），那么两集合的基数相等。
当集合A是有限集（finite）时，即，与某一自然数 n 存在一一映射关系，那么该集合A的基数为对应的自然数 n，记，|A| = |n| = n, n ∈ ℕ。即，定义 有限基数（finite cardinals） 为 自然数（natural numbers）。
如果存在单射（one to one）函数 f: A → B，那么，集合A的基数小于等于集合B的基数，记
|A| ≤ |B|。
当，|A| ≤ |B| 且 |A| ≠ |B| 时，|A| < |B|。
这里，把所有的基数看作是一个集合，那么，定义在基数上的 ≤ 关系为基数的顺序关系（Ording of cardinal numbers），该 ≤ 关系是线性的，即任意两个集合的基数都具备 ≤ 关系。
那么，对于任意集合A，有 |A| < | P(A) |，其中P(A)为集合A的幂集。
证：即，需要证明 |A| ≤ |P(A)| 且 |A| ≠ |P(A)|，而证明 |A| ≤ |P(A)|，需要证明 存在单射函数
f: A → P(A)。那么，定义函数 f 为， f(x) = {x}，而 {x} ∈ P(A)，因此该单射存在，因此|A| ≤ |P(A)|得证。
假设 |A| = |P(A)|，那么需要存在一个一一对应的函数 f，一一对应包括了 单射与满射两个条件，单射在上述描述中得以证明允许存在。而满射意味这 f 的值域等于 P(A)，即 Ran(f) = P(A)。
令集合 B = {x ∈ A: x !∈ f(x) }，包含了所有不被其映射值包含的元素。显然，B ⊂ X，即 B ∈ P(A)。如果函数f: A → P(A)是满射的话，就存在一个元素 a ∈ A，满足 f(a) = B，此时，a ∈ B，又 a !∈ B 。因此，函数f不可能是满射。
口
另外，|A| ≤ |B| 且 |B| ≤ |A|，那么 |A| = |B|。感兴趣的读者可自行证明。
基数的算术运算（Arithmetic operations on Cardinals）
给定集合A，B，A ⋂ B = ∅，|A| = m，|B| = n，那么
m + n = | A ⋃ B |
m × n = | A × B |
m ^ n = | A ^ B |
此时，如果 | A | = m, 那么，| P(A) | = 2 ^ m。
证明思路是，定义一个集合 B = {0, 1}，那么 B ^ A = { 0, 1 } ^ A，| B ^ A | = 2 ^ m。存在一一对应（one on one）函数 f: P(A) → B ^ A 。其中，B ^ A 是指数集（exponential set）的概念，包含了所有从 A 映射到 B的函数。
其中，+，× 都具有依从性（Associativity）,交互性（Commutativity），分布性（Distributivity）。感兴趣的读者可自行证明。
另外，还有
1.（m × n）^ p = m ^ p × n ^ p
2. m ^ ( n + p) = m ^ n × n ^ p
3. m ^ n ^ p = m ( n * p )
4. m ≤ n → m ^ p ≤ n ^ p
5. 0 < n ≤ p → m ^ n → m ^ p
6. m ^ 0 = 1； 1 ^ m = 1；m > 0 → 0 ^ m = 0
上述6条基数等式，从形态上看，与基于自然数的算术运算一致，即把 m, n, p 看作是某一自然数，上述等式成立。
要证明上述基数等式成立，其核心是找到一一对应的函数映射。即，将等式的左边与右边，通过基数的算术元算的定义，转换成 类似 |A| = |B| 的形态，然后，找到 一一对应的函数映射 f: A → B。那么，就有等式的左边等于右边。感兴趣的读者，可以自行证明。
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