反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数，只要求解出闭环系统的特征根，便能得到系统响应的变化规律。但对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。
1.根轨迹的定义
定义：当系统开环传递函数中某一参数从0→∞时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数（根轨迹增益Kg）作为可变参数。
传递函数的零极点表达式：
其中，Kg为根轨迹增益，其表达式为：
2.举例说明
例：已知系统的结构图，分析0 < K < ∞，闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征。
解：系统的开环传递函数为（一定要写成零极点表达式）：
式中，K为系统的开环比例系数。Kg=2K称为系统的开环根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
系统的闭环特征方程为：
由求根公式：
求得闭环特征根为：
闭环特征根s1，s2是Kg函数，随着Kg的改变而变化。
(1) Kg= 0：s1 = 0，s2 = -2，是根轨迹的起点(开环极点)，用“´”表示。
(2) 0 < Kg < 1：s1，s2均是负实数。Kg↑，s1↓，s2↑。s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动；s2从（-2，j0）点开始沿负实轴向右移动。
(3) Kg = 1：s1 = s2 =-1，重根。
(4) Kg >1：
整个根轨迹图如下所示：
对上例中的根轨迹与系统性能进行分析：
（1）稳定性
当Kg从0→∞时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的Kg值都是稳定的。
如果高阶系统的根轨迹有可能进入s右半平面，此时根迹与虚轴交点处的Kg值，称为临界开环增益。
（2）稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1型系统，因而根规迹上的Kg值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统对ess有要求，则对Kg有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。
（3）动态性能
由图可见，当0 <Kg< 1时，闭环极点均位于负实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
当Kg = 1时，闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
当Kg > 1时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。
根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的结论：
（1）n阶系统有n个根，根轨迹有n条分支；
（2）每条分支的起点(Kg = 0)位于开环极点处；
（3）各分支的终点(Kg→∞)或为开环零点处或为无限点；
（4）重根点，称为分离点或汇合点。
3.根轨迹方程
研究下图所示反馈控制系统的一般结构：
系统的闭环传递函数为：
该系统的闭环特征方程为：
若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式（一定要写成零极点表达式）：
式中Kg为系统的根迹增益，zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。上述方程又可写为：
“-”号，对应负反馈，“+”号对应正反馈。
由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。
根轨迹的幅值方程：
根轨迹的幅角方程：
式中，k=0，±1，±2，…（全部整数）。
式（4-6）通常称为180°根轨迹；（4-7）称作0° 根轨迹。
根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
在s平面内满足幅角条件的所有s1点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。
4.绘制180º根轨迹的基本法则
180º根轨迹的幅值方程：
180º根轨迹的幅角方程：
（1）法则一：根轨迹的连续性
由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。
（2）法则二：根轨迹的对称性
由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。
（3）法则三：根轨迹的条数
n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg从0→∞连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。
（4）法则四：根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于系统开环极点，终止于系统开环零点。
根轨迹上Kg= 0的点为起点，Kg→∞时的点为终点
证明：
系统开环传递函数G(s)H(s)的零极点表达式如下所示：
闭环特征方程为：
联立上两式可得：
因为根轨迹上Kg=0的点为起点，因此代入上式有：
说明Kg=0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将闭环特征方程改写为：
当Kg→∞时有：
所以根轨迹必终止于开环零点。
在实际系统的开环传递函数中m≤n，有m条根轨迹终点为开环零点处，另有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为有n-m个无穷远处的开环零点。
（5）法则五：根轨迹的渐近线
根据法则四，当开环传递函数中m < n时，将有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为φa，交点为sa的一组渐近线趋于无穷远处，且有：
（6）法则六：实轴上的根轨迹分布
实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。“奇是偶不是”
- 证明：
设零、极点分布如下图所示：
在实轴上取一测试点s1。
由上图可见，复数共轭极点到实轴s1点的向量幅角和为2π，复数共轭零点亦是如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。
s1点左边开环实数零、极点到s1点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。
而s1点右边开环实数零、极点到s1点的向量幅角为π。
如果s1是180°根轨迹，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：
即若s1所在的区域为根轨迹，其右边开环实数零、极点个数之和必须为奇数。
- 例：设某负反馈系统的开环传递函数为：
试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。
解：开环极点p1= 0、p2= -1、p3= -5，无开环零点。
因为有3个开环极点（即系统为3阶），因此系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点。由于不存在有限的开环零点，因此当Kg→∞时，根轨迹沿着三条渐近线趋向于无穷远处。
三条渐近线在实轴上的交点为：
三条渐近线与正实轴上间的夹角：
因此，如下图所示实轴上的根轨迹分布在(-∞，-5)和(-1，0)的实轴段上。
（7）法则七：根轨迹分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。
- 分离点的性质：
1）分离点是系统闭环重根；
2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；
3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；
4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。
- 分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角，用下式计算：
k为分离点处根轨迹的分支数。
- 确定分离点位置的方法（均需验证）：
法一：重根法（极值法）
法二：公式法
设分离点的坐标为d，则d满足如下公式：
式中，zi、pj是系统的有限开环零点和开环极点。
证明：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程有重根出现，设s=d处为分离点。
由闭环系统的特征方程等于零可得：
对特征方程等式两边对变量s求导可得：
将前两式移项并相除可得：
又存在下式所示导数关系式：
故上式可简化为：
又由于对数函数存在如下所示关系式：
故上式可进一步简化为：
对求和符中的各项进行求导，最终可得：
证毕。
例：设某负反馈系统的开环传递函数为：
其根轨迹如下图所示，求其根轨迹上的分离点。
解：系统实轴上的根轨迹段（-1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则由分离点公式可得：
d1 = -0.472，d2 = -3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看是否满足Kg>0？)分离点上根轨迹的分离角为±90°。
k为分离点处根轨迹的分支数。
最后得到分离点位置如下图所示。
如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。
（8）法则八：根轨迹与虚轴交点
若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则虚轴上交点的坐标（包括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出：
方法一：在系统的闭环特征方程D(s) = 0中，令s = jω，D(jω) = 0的解即是交点坐标。
方法二：由劳斯稳定判据求出。
- 例：设某负反馈系统的开环传递函数为：
其根轨迹如下图所示，求根轨迹与s平面虚轴交点的坐标。
解：该系统的闭环特征方程为：
方法一：直接求闭环特征方程为零时的解：
令s=jω，则：
化简可得：
一个复数要等于零，则实部和虚部都要等于零：
因此，可以求得：
方法二：
系统的闭环特征方程为：
劳斯表为：
当Kg=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：
画出根轨迹图如下所示：
（9）法则九：根轨迹的出射角与入射角
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始角)，用表示。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用表示。
求出射角的公式为：
求入射角的公式为：
- 证明：
设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1。在十分靠近待求起始角的复数极点px的根轨迹上取一点s1。由于s1无限接近px，因此，除px外，所有其它开环零、极点到s1点的向量幅角，都可以用它们到px的向量幅角来代替，而px到s1点的向量幅角即为起始角。根据s1点必满足幅角条件，应有：
移项后，立即得到法则九中的公式：
证毕。
- 例：设负反馈系统的开环传递函数为：
试绘制出系统的根轨迹。
解：起始角与终止角：
因此，出射角和入射角如下图所示：
（10）法则十：闭环极点的和与积
绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。
若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n-m≥2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。
- 证明：系统的开环传递函数为：
由韦达定理：
可知，式中：
闭环系统的特征方程为：
根据推广韦达定理中一元n次方程系数与根的关系式，若n-m≥2，则：
证毕。
- 结论：
-a1称为系统闭环极点或开环极点的重心。表明当Kg变化时，一些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左行，重心保持不变。
1）根的分量之和是一个与Kg无关的常数；
2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。
利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，对需要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，靠近虚轴或原点附件的根轨迹对分析系统的性能至关重要，应尽可能的准确绘制。
5.绘制0º根轨迹的基本法则
幅值方程：
幅角方程：
显然0º根轨迹的幅值方程与180º根轨迹的完全相同，只是幅角相差一个π，因此只要把180º根轨迹法则中，与幅角相关的项进行修正，即可获得绘制0º根轨迹的基本法则。
6.根轨迹分析方法
（1）开环零点的分布对系统性能的影响
增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：
①改变了实轴上根轨迹的分布。
②改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。
③使系统的根轨迹向左偏移。提高系统稳定度，有利于改善系统动态特性。
④开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子，抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。
（2）开环极点的分布对系统性能的影响
增加一个开环极点对系统的根轨迹有如下影响：
①改变了实轴上根轨迹的分布。
②改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。
③使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，有损于系统的动态特性，使得系统响应的快速性变差。
（3）开环偶极子对根轨迹的影响
开环偶极子(零极点重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为：
①开环偶极子不影响根轨迹的形状；
②开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值；
③合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性能。
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