表示和分类

显然矩阵乘积的行列式是各自行列式的乘积，因此行列式是矩阵乘法半群的表示。表示将不同的对象联系起来。行列式将矩阵和数字联系起来。数字分为0和非0，对应（双边对应）着矩阵分为不可逆和可逆。但是这个表示一方面不是双射，另一方面不是代数表示（和的行列式显然不一定等于行列式的和），所携带的信息比较少。除了可逆性，行列式还携带了矩阵的哪些信息呢？

上面用行列式对矩阵做了一个简单分类，如果要分类的不是矩阵，而是矩阵代数。那就需要以代数为对象，不再是以单个矩阵为对象。可以建立一个从有限维矩阵代数到数字的映射，比如维数。维数可以很好的对矩阵代数进行分类，这是一个很细的分类，维数相同的矩阵代数是同一个（同构）矩阵代数。而相同的代数显然有同一个维数。

如果把无穷大也囊括进来（注意，这里没有说无穷大是数），那么就可以把无限维矩阵代数也包括进来了。这时候分类变粗糙了，维数无穷的矩阵代数不一定是同一个矩阵代数。

上面的映射都取值于数字，有时候也不一定分要取值于数字。也可以取值于别的数学对象。比如K函子，就是取值于交换群。