信息学奥赛复赛复习12-CSP-J2021-01分糖果-模运算、余数、打擂台求最值、最大值、最小值

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1 P7909 [CSP-J 2021] 分糖果

[题目描述]

红太阳幼儿园有 n 个小朋友，你是其中之一。保证 n≥2

有一天你在幼儿园的后花园里发现无穷多颗糖果，你打算拿一些糖果回去分给幼儿园的小朋友们

由于你只是个平平无奇的幼儿园小朋友，所以你的体力有限，至多只能拿 R 块糖回去

但是拿的太少不够分的，所以你至少要拿 L 块糖回去。保证 n≤L≤R

也就是说，如果你拿了 k块糖，那么你需要保证 L≤k≤R

如果你拿了 k 块糖，你将把这 k 块糖放到篮子里，并要求大家按照如下方案分糖果：只要篮子里有不少于 n 块糖果，幼儿园的所有 n 个小朋友（包括你自己）都从篮子中拿走恰好一块糖，直到篮子里的糖数量少于 n 块。此时篮子里剩余的糖果均归你所有——这些糖果是作为你搬糖果的奖励

作为幼儿园高质量小朋友，你希望让作为你搬糖果的奖励的糖果数量（而不是你最后获得的总糖果数量！）尽可能多；因此你需要写一个程序，依次输入 n,L,R，并输出你最多能获得多少作为你搬糖果的奖励的糖果数量

[输入格式]

输入一行，包含三个正整数 n,L,R，分别表示小朋友的个数、糖果数量的下界和上界

[输出格式]

输出一行一个整数，表示你最多能获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量

[输入输出样例]

输入 #1

7 16 23

输出 #1

6

输入 #2

10 14 18

输出 #2

8

说明/提示

拿 k=20 块糖放入篮子里

篮子里现在糖果数 20≥n=7，因此所有小朋友获得一块糖

篮子里现在糖果数变成 13≥n=7，因此所有小朋友获得一块糖

篮子里现在糖果数变成 6<n=7，因此这 6块糖是作为你搬糖果的奖励

容易发现，你获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量不可能超过 6 块（不然，篮子里的糖果数量最后仍然不少于 n，需要继续每个小朋友拿一块），因此答案是 6

数据规模

2 相关知识点

1) 模运算

模运算，就是取余数，在计算机语言中用%来表示。举个简单的例子，3 % 5 = 3。结果的取值范围在 0 与模之间

例如

c=x/y

c=3 mod 5 =3 c的取值范围 [0,y-1]

结果也可以用负数表示，即 c=-2

2) 打擂台求最大值

打擂台法求最大值是一种简单直观的方法，用于在C语言中找出数组中的最大值

基本思想

初始化一个“擂主”（即假设的最大值），通常设为数组的第一个元素。

遍历数组中的其余元素，与“擂主”进行比较。

如果当前元素比“擂主”大，则将当前元素设为新的“擂主”。

遍历结束后，“擂主”即为数组中的最大值。

这种方法易于理解和实现，且效率较高，时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度

示例程序

#include <stdio.h>
/*
  arr[] 在arr 求数组最大值 数组arr长度为n
  a[0] 作为最开始擂主 
*/ 
int findMax(int arr[], int n) {
    int max = arr[0]; // 初始化擂主为数组的第一个元素
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 从数组的第二个元素开始遍历
        if (arr[i] > max) { // 如果当前元素比擂主大
            max = arr[i]; // 更新擂主为当前元素
        }
    }
    return max; // 返回最大值
}

int main() {
    int arr[] = {3, 5, 1, 8, 2};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // 计算数组长度
    int maxValue = findMax(arr, n);
    printf("数组中的最大值为：%d\n", maxValue);
    return 0;
}
/*
输出
数组中的最大值为：8 
*/

3 思路分析

思路1

如果糖果比n大就分给其他小朋友，其实自己只能留下不能被分的余数个糖果

从L~R求出每个数的余数，然后求余数的最大值

示例程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
maxN 求最大，赋值一个最小数
n个小朋友
L最少L个糖果
R最多R个糖果
cur 枚举时临时变量，比较使用 
*/
int maxN=-1,n,L,R,cur;
/*
  L~R之间的数字逐一取模取最大 
*/ 
int main(){
	cin>>n>>L>>R;//输入n个小朋友 L糖果的下界 R糖果的上界 
	for(int i=L;i<=R;i++){//从下届枚举到上界 
		cur=i%n;//取模 
		if(cur>maxN){//找出所有取模后的最大值 
			maxN=cur;
		}
	}
	cout<<maxN;
	return 0;
} 

由于本题测试数据比较大，可以达到10^9,打擂台求最大值的时间复杂度为O(n),会超时，具体如下

思路2

如果糖果比n大就分给其他小朋友，其实自己只能留下不能被分的余数个糖果

分析余数可知，L~R的范围有1种情况

L~R的范围，在n范围内，即 R-L<n

此时余数最大为R%n，剩余糖果的数量为R%n

L~R的范围，大于n，R-L>n

次数余数最大为余数的最大值n-1，剩余糖果的数量为n-1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
  分情况讨论
  如果在同周期，取上界和人数取模 
  例如 n=6 L=7 R=11 ,则分糖果最大数11%6=5 
  如果在不同周期,为总人数-1 
  例如 n=6 L=10 R=13，则分糖果最大数6-1=5 对应11%6=5 
*/ 
int n,L,R;//n个小朋友 L最少L个糖果 R最多R个糖果

int main(){
	cin>>n>>L>>R;//输入n个小朋友 L糖果的下界 R糖果的上界 
	if(L/n==R/n){//如果在同周期
		cout<<R%n;//取上界和人数取模 
	}else{//如果跨周期 
		cout<<n-1;//为总人数-1 
	}
	return 0;
}

时间复杂度为模运算，O(1)