前情概要
典例剖析
分析：由题目可知，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=1\) 要求 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解的个数为\(1\)，
<iframe frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.75+"px"' src="https://www.desmos.com/calculator/ie3tcegn6c?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>当\(a\geqslant 0\)时显然不符合题意，
当\(a<0\)时，由图像可知，要满足题意，只需要\(g(2)\leqslant f(2)\)，
即\(a(2-1)^2+2\leqslant 1=log_22\)，解得\(a\leqslant -1\)，故选\(B\).
分析：由题目可知，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=6\)，要求 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解的个数为\(3\)，即解集中应该有 \(\{1,2,3\}\) ，
<iframe frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.75+"px"' src="https://www.desmos.com/calculator/o6qbnunlwo?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>当\(a>0\)时显然不符合题意，
当 \(a=0\) 时符合题意；
当\(a<0\)时，由图像可知，要满足题意，只需要\(f(3)<g(3)\)，
即\(|\log_23|<a(3-1)^2+2\)，解得\(a>\cfrac{\log_23-2}{4}\)，综上所述，实数 \(a\) 的取值范围是 \((\cfrac{\log_23-2}{4},0]\) .
分析：当我们做出函数的整体图像后，应该想到新定义就是问我们：分段函数的一段上有几个点和分段函数另一段上的点是关于原点对称的。
本题目考查思维之处在于，你能否想到将一个分段函数的两段图像上的点关于原点的对称问题，
转化为其一段图像如\(y=\cfrac{2}{e^x}(x>0)\)和另一段图像\(y=x^2+2x(x\leq 0)\)关于原点对称的图像\(y=-x^2+2x(x>0)\)的交点个数问题。另一个考查之处就是手工作图像的能力。
做出适合题意的图像，由图像可知“姊妹点对”有2个，故选C。
反思总结：1、新定义的理解及运用，作函数的图像，转化划归，数形结合；2、新定义题目考查学生快速理解和简单运用数学概念的素养；3、题目的转化划归能力的考查。
分析：由题意可知，存在 \(x_0\in (-1,1)\)，使得 \(f(x_0)=\cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}\)，
化简得到，\(f(x_0)=m\) 有解，即 \(-x_0^2+mx_0+1=m\)，
即\((x_0-1)m=x_0^2-1\)，由于\(x_0-1\neq 0\)，故转化为\(m=x_0+1\)在\(x_0\in(-1,1)\)上有解，
即需要求函数\(y=x_0+1\)的值域，而\(x_0+1\in (0,2)\)，故\(m\in (0,2)\).
分析：\(f'(x)=(x+2)e^x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e^x-3x-2)\)，
令\(f'(x)=0\)，则得到\(x=-2\)注意，虽然\(x=-2\)是导函数的零点，但未必是原函数的极值点，若其是导函数的不变号零点，则不会成为原函数的极值点。\(\quad\)，或\(e^x=3x+2\)
补充图像说明如下，
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.75+"px"' src="https://www.desmos.com/calculator/0sboyaqfx3?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>当\(x<-2\)时，\(x+2<0\)，\(e^x>0\)，\(3x+2<0\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，即\((x+2)[e^x-(3x+2)]<0\)，即\(f'(x)<0\)；
当\(x>-2\)时，\(x+2>0\)，\(e^x>0\)，\(3x+2<0\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，即\((x+2)[e^x-(3x+2)]>0\)，即\(f'(x)>0\)；
故易知\(x=-2\)为其一个极值点；
以下重点说明由\(e^x=3x+2\)可以得到两个极值点，
结合上述图像可知，\(y=e^x\)和\(y=3x+2\)有两个交点，
当\(x<x_1\)时，\(e^x>3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，当\(x>x_1\)时，\(e^x<3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)<0\)，
当\(x=x_1\)时，\(e^x=3x+2\)，故\(x=x_1\)为原函数的一个极值点，
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.75+"px"' src="https://www.desmos.com/calculator/0gzqkhgwnl?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>当\(x<x_2\)时，\(e^x<3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)<0\)，当\(x>x_2\)时，\(e^x>3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，
当\(x=x_2\)时，\(e^x=3x+2\)，故\(x=x_2\)为原函数的一个极值点，
综上所述，函数\(f(x)\)共有三个极值点，即函数为\(4\)折函数，故选\(C\)。
分析：从两类符号对应的数字\(0\)和\(1\)中任取\(2\)个数字[包含两个数字相同和两个数字不相同两种情形]进行排列，
共有4种情形，列举如下，\(00_{(2)}\)、\(01_{(2)}\)、\(10_{(2)}\)、\(11_{(2)}\)；
其中\(00_{(2)}=0\times 2^1+0\times 2^0=0_{(10)}\)；\(01_{(2)}=0\times 2^1+1\times 2^0=1_{(10)}\)；
\(10_{(2)}=1\times 2^1+0\times 2^0=2_{(10)}\)；\(11_{(2)}=1\times 2^1+1\times 2^0=3_{(10)}\)；
得到的二进制数所对应的十进制数大于\(2\)的为\(11_{(2)}\)，故所求概率为\(P=\cfrac{1}{4}\)；故选\(D\);
① 集合 \(A=\{-4\)，\(-2\)，\(0\)，\(2\)，\(4\}\) 为闭集合；
② 集合 \(A=\{n\mid n=3k， k\in Z\}\) 为闭集合；
③ 若集合 \(A_{1}\)， \(A_{2}\) 为闭集合，则 \(A_{1}\cup A_{2}\) 为闭集合.
其中正确结论的序号是_____________.
解析：在 ① 中， 由于 \(-4+(-2)=-6 \not\in A\)， 所以 ① 不正确；
在 ② 中，设 \(n_{1}\)， \(n_{2}\in A\)， \(n_{1}=3k_{1}\)， \(n_{2}=3k_{2}\)， \(k_{1}\)， \(k_{2}\in Z\)， 则 \(n_{1}+n_{2}\)\(=\)\(3(k_1+k_2)\)\(=3k_3\)\(\in A\)， \(k_{3}\in Z\)，\(n_{1}-n_{2}\)\(=\)\(3(k_1-k_2)\)\(=\)\(3k_4\)\(\in A\)，\(k_{4}\in Z\)，所以 ② 正确；
在 ③ 中, 令 \(A_{1}=\{n\mid n=3k_{1}, k_{1}\in Z\}\)， \(A_{2}=\{n\mid n=\sqrt{2}k_{2}, k_{2}\in Z\}\)，则 \(A_{1}\)， \(A_{2}\) 为闭集合，但 \(3k_{1}+\sqrt{2}k_{2}\not\in(A_{1}\cup A_{2})\)， 故 \(A_{1}\cup A_{2}\) 不是闭集合，所以 ③ 不正确.
故正确结论的序号是 ② ；
①. 函数 \(f(x)=\sqrt[3]{x}+1\) 是圆 \(O: x^{2}+(y-1)^{2}=1\) 的一个太极函数；
②. 函数 \(f(x)={e}^{x-1}-{e}^{1-x}+2\) 是圆 \(O:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1\) 的一个太极函数；
③. 函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x,&x\geq 0\\-x^{2}-x,&x<0\end{array}\right.\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；
④. 函数 \(f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数. 所有正确的是______________.
解析：本题目实质是问，所给的函数是不是关于所给圆的圆心成中心对称图形，如果是，则此函数必能将圆 \(O\) 的周长和面积同时等分成两个部分，故其就是所给圆的太极函数；
对于①而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)\(+\)\(1\)，其对称中心为\((0,1)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\) 是圆 \(O\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\((y-1)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；辅助记忆：\(y\)\(=\)\(x^3\)与\(y\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)的图像关于直线\(y\)\(=\)\(x\)对称；
对于②而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，其对称中心为\((1,2)\)，说明：\(y\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)为奇函数，单调递增，对称中心为\((0,0)\)，将其向右平移一个单位，得到 \(y\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)，再将其向上平移\(2\)个单位，得到 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，故其对称中心为\((1,2)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\) 是圆 \(O\)\(:\)\((x-1)^{2}\)\(+\)\((y-2)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；
对于③而言，做出函数的简图，就能看出来\(f(x)\)是个奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，故函数 \(f(x)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；
对于④而言，函数\(f(x)\)为奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，说明：\(f(x)\)\(+\)\(f(-x)\)\(=\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)\(+\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)\(=\)\(\ln1\)\(=\)\(0\)，故其对称中心为\((0,0)\)，则函数 \(f(x)\) 是圆 \(0\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；
综上所述，所有正确的是 ①②③④ .
(1).\(0\in A\)，\(1\in A\)；
(2).对任意\(x,y\in A\)，\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)，则称\(A\)为一个数域，那么命题：
①有理数集\(Q\)是一个数域；
②若\(A\)为一个数域，则\(Q\subseteq A\)；
③若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cap B\)也是一个数域；
④若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)也是一个数域；
其中真命题的序号为___________。
初次理解如下：比如整数集\(Z\)就不是一个数域，整数集\(Z\)满足\(0\in Z\)，\(1\in Z\)；但是不满足条件二，比如\(1\in Z\)，\(2\in Z\)，但是\(\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故整数集\(Z\)不是一个数域；同理，自然数集\(N\)不是数域[同理\(\cfrac{1}{2}\not\in N\)，]，无理数集\(C_RQ\)不是数域[比如\(\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\not\in C_RQ\)]；
详细分析如下：
对于①而言，有理数集\(Q\)显然满足条件一，对于任意两个有理数，其四则运算的结果一定是有理数，则满足条件二，故有理数集\(Q\)是一个数域；即①正确；且有理数集\(Q\)是最小的数域；
对于②而言，理解了有理数集\(Q\)是最小的数域，则容易知道②正确；
[解释：由于\(A\)为数域，则\(0\in A\)，\(1\in A\)，则对任意正整数\(m\in Z^+\)，必然有\(m=1+1+1+\cdots \in A\)，进而能得到整数集；继而对\(\forall m，n\in z^+\)，\(m\pm n\in A\)，\(mn\in Q\)，\(\pm \cfrac{m}{n}\in A\)，显然后半部分构成了分数集；而任意一个有理数可表成两个整数的商，故\(Q\in A\)]
对于③而言，正确，令\(C=A\cap B\)，则由\(A\)，\(B\)都是数域，则\(0,1\in A\)且\(0,1\in B\)，故\(0,1\in C\)；又由于对任意\(x,y\in A\)，对任意\(x,y\in B\)，则一定有\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)且一定有\(x+y\in B\)，\(x-y\in B\)，\(xy\in B\)，\(\cfrac{x}{y}\in B(y\neq 0)\)，故必然有\(x+y\in C\)，\(x-y\in C\)，\(xy\in C\)，\(\cfrac{x}{y}\in C(y\neq 0)\)，即\(C\)满足条件一和二，故\(C\)是数域，也就是\(A\cap B\)是数域，故③正确；
对于④而言，我们前面说明无理数集不能构成数域，但是形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合却是可以构成数域的，说明如下：
令\(a=b=0\)，则\(0\in M\)，令\(a=1，b=0\)，则\(1\in M\)，故满足条件一；
任取集合\(M\)中的两个数\(a_1+\sqrt{2}b_1(a_1,b_1\in Q)\)和\(a_2+\sqrt{2}b_2(a_2,b_2\in Q)\)，
容易说明他们的和与差\((a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{2}\in M\)，
其乘积\((a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2+\sqrt{2}b_2)=\cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}\in M\)，
其商(说明一个即可)\(\cfrac{a_1+\sqrt{2}b_1}{a_2+\sqrt{2}b_2}=\cfrac{(a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2-\sqrt{2}b_2)}{(a_2+\sqrt{2}b_2)(a_2-\sqrt{2}b_2)}=\cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}\in M\)
即集合\(M\)满足条件二；综上所述，形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合可以构成数域，
为了说明④错误，我们取\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)，\(N=\{a+\sqrt{3}b (a,b\in Q)\}\)，
此时容易说明\(1+\sqrt{2}\)和\(1+\sqrt{3}\)的和\(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)并不在其并集\(M\cup N\)中，
故若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)却不一定是数域；故④错误；
综上所述，正确命题的序号为①②③；
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