什么是域？
温故
群：一个集合G，一种二元运算∗，满足群公理（封闭，结合，单位元，逆元）。
阿贝尔群（交换群）：任意a,b∈G，a∗b=b∗a。（交换律）
环：一个集合R，两种二元运算加法和乘法（+,·），满足（加法构成阿贝尔群，乘法构成半群，分配律）。
含幺环（单位环）：环，乘法单位元。
交换环：环，乘法交换律。
含幺交换环：环，乘法单位元，乘法交换律。
整环：没有零因子（如果a,b非零，那么a·b非零）。
什么是零因子呢：在一个环R中，如果存在两个非零元素a和b，使得它们的乘积为零（即a·b=0），那么a和b就被称为零因子。
除环（斜域）：除了零元以外的所有元素都具有乘法逆元。（除环中的每个非零元素a，存在一个元素b使得a⋅b=b⋅a=1，其中 1 是乘法单位元。）在除环种乘法不一定是可交换的。
域：在加法下构成阿贝尔群，除了加法单位元 0 外，在乘法下也构成阿贝尔群，分配律。
知新
域：单位元素，逆元素，零元素，负元素。加法消去律，乘法消去律。
无限域：元素个数无限。
有限域（伽罗瓦域）：元素个数有限。
子域
定理：域一定是整环。
分析：域和整环都有乘法幺元，都满足乘法交换律，都非平凡，整环无零因子，只需证明域中无零因子。（什么叫非平凡呢？）
证明：设F是域，任意a,b∈F，设a不等于0，a·b=0。因为a是非零元素，而F\{0}构成乘法阿贝尔群，所以a有乘法逆元a-1，则
a·b=0⬅➡a-1·（a·b）=a-1·0=0⬅➡b=0,
得证！
无限整环不一定是域：Q，R是域，而Z不是域，因为Z\{0}，×）不是阿贝尔群（不是所有元素都有逆元）。
定理：有限整环一定是（有限）域。
证明：（要证明有限整环的非零元素都有逆元）
设D为有限整环，任意a,b,c∈D，非零元素c不等于0，如果a不等于b，有ac不等于bc。由乘法封闭性可知，c·D=D。
对于乘法单位元e∈D，存在d∈D，使得e=cd。所以，任意非零元素c都有乘法逆元d。得证！
结
域的一些小性质
⭐非平凡：包含至少2个元素（0和1，1≠0）
⭐没有零因子