参考资料：
《线性代数》第三章
https://www.acwing.com/video/2274/
《进阶指南》
定义
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称 \((a_1,a_2,...,a_k)\) 为 \(k\) 维向量 \(\bold{a}\)，其中 \(a_i \in \R\) 称为 \(k\) 维实向量。每个维度之间没有关系。
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若干个同维数向量的组合称为向量组。向量组可以是无限的。
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向量的线性运算包括数乘和加减运算，具有所有运算律。
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若存在向量 \(\bold{b}\) 可以由向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 通过线性运算表示出来，则称 \(\bold{b}\) 能被 \(\bold{a}\) 线性表出。
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对于向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\)，所有能被它表出的向量构成一个向量线性空间，它称为 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 的子空间。\(\bold{a_1,a_2,...}\) 称为该空间的生成子集。
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若向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 中任意元素都可以被向量组 \(\bold{b_1,b_2,...}\) 表出，那么显然向量组 \(\bold{b_1,b_2,...}\) 中任何元素也可以被向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 表出。称它们等价。
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若向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 满足对于非全零的 \(k_1,k_2,...\) 使得 \(\sum \bold{a_i} k_i = \bold{0}\) 成立，那么称 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 线性相关。否则称 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 线性无关。
- 与之等价的定义：对于任意的 \(i\)，有 \(\bold{a_i}\) 可以被向量组 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 中其他的向量构成的向量组表出，则称 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 线性相关。否则，一定不存在 \(i\) 满足该结论，称 \(\bold{a_1,a_2,...}\) 线性无关。
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一个向量组 \(\bold{a}\) 的极大线性无关组的定义：从 \(\bold{a}\) 中可以找到若干个向量组成新的向量组 \(\bold{a'}\)，并且 \(\bold{a'}\) 满足：
- 其线性无关。
- 将任何一个除 \(\bold{a'}\) 中元素之外的向量加入该组，该组均变得线性相关。
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我们将向量组看成一个按行分块的矩阵，那么进行任意次矩阵的线性变换之后，该矩阵表示的向量组均与原向量组等价。
- 对于线性相关的定义，非全零的 \(k_1,k_2,...\) 使得 \(\sum \bold{a_i} k_i = \bold{0}\) 成立，也即线性方程组 \(\sum \bold{a_i} k_i = \bold{0}\) 有非全零解。该线性方程组的增广矩阵