买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目描述

给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

• 1 <= prices.length <= 5000
• 0 <= prices[i] <= 1000

解题思路

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) {
            return 0;
        }
        int n = prices.size();
        // f[i][0]: 今天收盘时，手上持有股票
        // f[i][1]: 今天收盘时，手上未持股票，且股票今天出售
        // f[i][2]: 今天收盘时，手上未持股票，且股票不是今天出售
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 昨天持有股票，今天继续持有；或者昨天前已出售，今天买入
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            // 昨天持有股票，今天出售；
            dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            // 昨天出售股票；或者昨天前已出售
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
        }
        return max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);
    }
};

动态规划状态定义

dp[i][j] 表示第 i 天结束时的最大利润，其中 j 有三种状态：

• dp[i][0]: 第 i 天结束时持有股票的最大利润。
• dp[i][1]: 第 i 天结束时刚卖出股票的最大利润。
• dp[i][2]: 第 i 天结束时不持有股票（并且没有在当天卖出）的最大利润。

初始状态

• dp[0][0] 初始化为 -prices[0]，因为第一天买入股票花费了 prices[0]。
• dp[0][1] 和 dp[0][2] 可以初始化为 0，因为第一天不可能卖出股票。

状态转移方程

• dp[i][0]: 第 i 天持有股票可能是继续持有前一天的股票，或者是第 i 天买入股票（前一天不持有股票），取这两种情况的较大值。

• dp[i][1]: 如果第 i 天卖出股票，那么第 i-1 天一定是持有股票的状态。

• dp[i][2]: 第 i 天如果不持有股票，可能是保持前一天卖出股票的状态，或者是继续不持有股票的状态，取较大值。 

最终结果

在所有交易日结束后，持有股票的利润不能算作最大利润，因此我们只需要在不持有股票的状态中找最大值。