题目 如图, $H$是$\triangle ABC$的垂心, $M,N$分别是$AB,AC$的中点. 已知$H$在四边形$BMNC$的内部, 且$\triangle BMH$的外接圆与$\triangle CNH$的外接圆相切. 过$H$作平行于$BC$的直线分别与$\triangle BMH$和$\triangle CNH$的外接圆交于不同于$H$的点$K,L.$ 设$F$是直线$MK$与$NL$的交点, $J$是$\triangle MHN$的内心. 求证：$FJ=FA.$
证明
由两圆外切可知$\angle NHM=\angle NCH+\angle HBM=180^{\circ}-2\angle BAC.$
由内心性质可知\begin{align*}
\angle NJM=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle NHM=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle BAC)=180^{\circ}-\angle BAC.
\end{align*}
故$A,M,J,N$共圆. 又注意到$MN\parallel BC\parallel KL,$ 故
\begin{align*}
\angle NMF=\angle LKF=\angle HBM=90^{\circ}-\angle BAC.
\end{align*}
同理有$\angle FNM=90^{\circ}-\angle BAC,$ 故知$F$为$\triangle AMN$外接圆的外心, 由共圆可知$FA=FJ.$