LG7521 [省选联考 2021 B 卷] 取模

LG7521 [省选联考 2021 B 卷] 取模

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你再其中选出三个数 \(i,j,k(i\neq j,i\neq k,i\neq k)\)，使得 \((a_i+a_j)\bmod a_k\) 的值最大。

复杂度不太会证，说一下做法。

顺序不影响答案，先排序一下。

模数大的时候答案更大的可能性会更高，所以我们从大到小选择模数。对于每个模数，计算出剩余的数对其取模的值组成的新的序列。容易发现答案的和要么是两个数的和小于模数，或者大于等于模数，小于模数的两倍。

• 两个数的和小于模数，对新序列排序之后，确定一个数时就能通过二分查找很快求出和最大值。
• 两个数的和大于模数，可以发现取到这个最大的和就是新序列的最后两项之和。

然后加上一些不难想的剪枝即可。据说复杂度是 \(O(n\log ^2n)\) 的（如果值域与 \(n\) 同阶）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll>ttfa;
inline ll read(){
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||'9'<ch){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while('0'<=ch&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}

using namespace std;
const int N=200005;
int n,a[N],ans,b[N];

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=3;i<=n;++i)
		ans=max(ans,(a[i-2]+a[i-1])%a[i]);
	for(int i=n;i>=1&&a[i]>ans;--i){
		if(a[i]==a[i+1])continue;
		int tot=0;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if(j!=i)b[++tot]=a[j]%a[i];
		if(tot>=2)ans=max(ans,(b[tot]+b[tot-1])%a[i]);
		sort(b+1,b+1+tot);
		for(int j=tot;j>=1;--j){
			int loc=upper_bound(b+1,b+j+1,a[i]-b[j]-1)-b-1;
			//printf("%d %d %d\n",a[i],j,loc);
			if(loc<1)continue;
			if(loc>=j)break;
			ans=max(ans,b[j]+b[loc]);	
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}