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一道数学题

时间:2024-08-30 18:38:36浏览次数:12  
标签:+... pmod 等价 times 一道 数学题 +...+ equiv

题目:

证明:
\(1+2+3...+n|1^k+2^k+3^k+...+n^k\)其中k是奇数,n是任意正整数

等价于\(2\times (1^k+2^k+...n^k)=pn(n+1)\),其中p为整数
因为\((n, n+1)=1\)
等价于证明
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod n\)和
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}\)
而上一个式子等价于证明
\(2 \times (1^k+2^k+...+{(n-1)}^k) \equiv 0 \pmod n\)发现与下面形式一致
因此只需要证
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}\)
那么直接两两配对即可
\(1^k+n^k+2^k+{(n-1)}^k+...\)
\(=1^k+{(-1)}^k+2^k+{(-2)}^k+...\)

当\(2|n\)时,恰好组成\(\frac{n}{2}\)组,且每组模n+1均为0
而当n为奇数时,恰好我们可以用前面的系数2将\(\frac{n}{2}\)用两次,至此完成证明

标签:+...,pmod,等价,times,一道,数学题,+...+,equiv
From: https://www.cnblogs.com/ganking/p/18389312

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