组合数学学习笔记

组合恒等式:
1.\(n \choose m\)=\(n-1 \choose m\)+\(n-1 \choose m-1\)
2.下降幂\(n^{m}\)就是\(A^{m}_{n}\)
3.\(\sum ^{m}_{i=0} {i \choose n}={m+1 \choose n+1}\)
4.范德蒙德卷积\(\sum^{k}_{i=0}{n \choose i}{m \choose k-i}={n+m \choose k}\)
5.\(\sum_{i=0}^{n} i{n \choose i}=n*2^{n-1}\)

卡特兰数:
公式
1.\(Cat_n=\sum \limits_{i=1}^{n}Cat_{i-1}Cat_{n-i}\)
2.$ Cat_n=\frac{4n-2}{n+1}Cat_{n-1} \( 3.\)Cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \( 例题与解释 1.经典的网格路径问题 从(0, 0)\)走到(n, m)，只能向上或向右走，且不穿过y=x这条线的方案数。显然随便走的话方案数就是\(C_{n+m}^{n}\)一共走n+m步，其中有n步向右走）。考虑每一条不合法路径，也就是穿过了y=x，即触碰到了y=x+1，将第一次触碰到y=x+1的位置记作d，那么把d之后的路径沿y=x+1对称，就得到了一条从(0,0)到(m-1,n+1)的路径(相当于将(m,n)关于y=x+1对称)。可以发现每一条不合法路径都唯一对应一条从(0,0)到(m-1,n+1)的路径，这是一个双射关系，方案数为\(C_{n+m}^{n+1}\)，最后答案为\(C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}\)。特别的，当n=m时，就是卡特兰数。

2.括号序列
左括号的数量始终大于等于右括号，即合法的括号序列。把左右括号看做1、-1，将x轴看作(,y轴看作),然后就满足了上面的性质。

3.进出栈问题
同上

这类问题都是，转化成1或2或3问题，通过公式3解决

4.阶梯的矩形划分（树屋阶梯）。
一个阶梯被若干个矩形划分的方案数。
发现n个角不可能处于同一个矩形，那么枚举n个角哪一个与左下角的方块在一个矩形内，那么上方还剩下i-1个角，下方还剩下n-i个角，则递推式如1。

5.二叉树的构成问题（凸多边形的三角划分）
枚举左子树的大小，得到递推式\(f_n=f_0f_{n-1}+f_1f_{n-2}……f_{n-1}f_0\)。

7.不相交弦
在一个圆上有2n个点，两两配对，所得的弦彼此不相交，在圆上任选两个点连接，把圆分成两部分，左侧2(i-1)个点，右侧2(n-i)个点，得到递推式。

容易发现，这个常用的是1和3公式，这通常是通过子状态转移过来（区间dp？），当我乱说，但确实有这种感觉。